Aprenda a fatorar completamente expressões monomiais, ou calcular o fator faltante em uma fatoração monomial.

Conceitos com que você deve estar familiarizado antes dessa lição

Um monômio é uma expressão que é o produto de uma constante por uma potência inteira e não negativa de xx, por exemplo, 3x23x^2. Um polinômio é a soma de vários monômios, por exemplo 3x2+6x13x^2+6x-1.
Se A=BCA=B\cdot C, então BB e CC são fatores de AA, e AA é divisível por BB e por CC. Para revisar este material, confira nosso artigo sobre Fatoração e divisibilidade.

O que você vai aprender nessa lição

Nessa lição, você aprenderá a fatorar monômios. Você utilizará o que já sabe sobre fatoração de números inteiros para ajudar nessa jornada.

Introdução: o que é fatoração monomial?

Fatorar um monômio significa expressá-lo como o produto de dois ou mais monômios.
Por exemplo, abaixo são mostradas diversas fatorações possíveis de 8x58x^5.
  • 8x5=(2x2)(4x3)8x^5=(2x^2)(4x^3)
  • 8x5=(8x)(x4)8x^5=(8x)(x^4)
  • 8x5=(2x)(2x)(2x)(x2)8x^5=(2x)(2x)(2x)(x^2)
Observe que quando você multiplica todas as expressões à direita, obtém 8x58x^5.

Pergunta para reflexão

Fatoração completa de monômios

Revisão: fatoração de números inteiros

Para fatorar completamente um número inteiro, nós o escrevemos como um produto de números primos.
Por exemplo, sabemos que 30=23530=2\cdot 3\cdot 5.

E agora os monômios...

Para fatorar completamente um monômio, devemos escrever o coeficiente como um produto de números primos e expandir a parte variável.
Por exemplo, para fatorar completamente 10x310x^3, podemos escrever a fatoração de 1010 em números primos como 252\cdot 5 e escrever x3x^3 como xxxx\cdot x\cdot x. Portanto, esta é a fatoração completa de 10x310x^3:
10x3=25xxx10x^3=2\cdot 5\cdot x\cdot x\cdot x

Teste seu conhecimento

Como calcular os fatores que estão faltando em monômios

Revisão: fatoração de números inteiros

Suponha que saibamos que 56=8b56=8b para um bb inteiro. Como podemos calcular o outro fator?
Bem, nós podemos calcular bb na equação 56=8b56=8b dividindo os dois lados da equação por 88. O fator desconhecido é 77.

E agora os monômios...

Podemos estender essas ideias para os monômios. Por exemplo, suponha que 8x5=(4x3)(C)8x^5=(4x^3)(C) para algum monômio CC. Podemos calcular CC dividindo 8x58x^5 por 4x34x^3:
8x5=(4x3)(C)8x54x3=(4x3)(C)4x3Divida os dois lados por 4x32x2=CSimplifique usando as propriedades dos exponentes\begin{aligned}8x^5&=(4x^3)(C)\\ \\ \dfrac{8x^5}{4x^3}&=\dfrac{(4x^3)(C)}{4x^3}&&\small{\gray{\text{Divida os dois lados por }4x^3}}\\ \\\\\\ 2x^2&=C&&\small{\gray{\text{Simplifique usando as propriedades dos exponentes}}} \end{aligned}
Podemos verificar nosso trabalho mostrando que o produto de 4x34x^3 e 2x22x^2 é realmente 8x58x^5.
(4x3)(2x2)=42x3x2=8x5\begin{aligned}(\purpleC{4}\tealD {x^3})(\purpleC{2}\tealD{x^2})&=\purpleC 4\cdot \purpleC{2}\cdot \tealD {x^3}\cdot \tealD{x^2}\\ \\ &=\purpleC{8}\tealD{x^5} \end{aligned}

Teste seu conhecimento

Uma observação sobre múltiplas fatorações

Considere o número 1212. Podemos escrever 4 fatorações diferentes desse número.
  • 12=2612=2\cdot 6
  • 12=3412=3\cdot 4
  • 12=12112=12\cdot 1
  • 12=22312=2\cdot 2\cdot 3
No entanto, há apenas uma fatoração de 1212 em números primos, 2232\cdot 2\cdot 3.
A mesma ideia aplica-se a monômios. Podemos fatorar 18x318x^3 de várias formas. Aqui estão algumas fatorações diferentes:
  • 18x3=29x318x^3=2\cdot 9\cdot x^3
  • 18x3=36xx218x^3=3\cdot 6\cdot x\cdot x^2
  • 18x3=233x318x^3=2\cdot 3\cdot 3\cdot x^3
No entanto, há apenas uma fatoração completa!
18x3=233xxx18x^3=2\cdot 3\cdot 3\cdot x\cdot x\cdot x

Desafios

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