Máximo divisor comum de monômios

Aprenda a encontrar o MDC (Máximo Divisor Comum) de dois ou mais monômios.

Com o que você deve estar familiarizado antes dessa lição

Um monômio é uma expressão que consiste no produto de constantes por potências inteiras e não negativas de xx, como por exemplo 3x23x^2. Um polinômio é uma soma de monômios.
Você pode escrever a fatoração completa de um monômio escrevendo a fatoração em números primos do coeficiente e expandindo a parte variável. Confira nosso artigo Fatoração de monômios se isso for novidade para você.

O que você vai aprender nessa lição

Nessa lição, você vai aprender sobre o máximo divisor comum (MDC) e como determiná-lo para monômios.

Revisão: máximo divisor comum de números inteiros

O máximo divisor comum de dois números é o maior número inteiro que é um divisor de ambos os números. Por exemplo, o MDC de 1212 e 1818 é 66.
Podemos encontrar o MDC de dois números quaisquer por meio do exame de suas fatorações em números primos:
  • 12=22312=\blueD{2}\cdot 2\cdot \goldD{3}
  • 18=23318=\blueD{2}\cdot \goldD3\cdot 3
Observe que 1212 e 1818 têm um divisor de 2\blueD{2} e um divisor de 3\goldD{3} em comum, portanto, o máximo divisor comum de 1212 e 1818 é 23=6\blueD{2}\cdot \goldD{3}=6.

Máximo divisor comum de monômios

O processo é semelhante quando você precisa encontrar o máximo divisor comum de dois ou mais monômios.
Basta escrever a fatoração completa de cada monômio e encontrar os divisores comuns. O produto de todos os divisores comuns será o MDC.
Por exemplo, vamos encontrar o máximo divisor comum de 10x310x^3 e 4x4x:
  • 10x3=25xxx10x^3=\blueD{2}\cdot 5\cdot \goldD{x}\cdot x\cdot x
  • 4x=22x4x=\blueD{2}\cdot 2\cdot \goldD{x}
Observe que 10x310x^3 e 4x4x têm um divisor de 2\blueD{2} e um divisor de x\goldD{x} em comum. Portanto, o máximo divisor comum deles é 2x\blueD2\cdot \goldD{x} ou 2x2x.

Teste seu conhecimento

1) Qual é o máximo divisor comum de 9x29x^2 e 6x6x?
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

Vamos fatorar completamente cada monômio. Em seguida, podemos encontrar os divisores comuns aos dois monômios e multiplicá-los para encontrar o MDC.
  • 9x2=33xx9x^2=\blueD{3}\cdot {3}\cdot \goldD{x}\cdot x
  • 6x=23x6x=2 \cdot \blueD{3}\cdot\goldD{x}
Observe que cada monômio tem um divisor de 3\blueD3 e um divisor de x\goldD{x}. Portanto, o máximo divisor comum dos monômios é 3x\blueD3 \cdot \goldD{x} ou 3x3x
2) Qual é o máximo divisor comum de 12x512x^5 e 8x38x^3?

Vamos fatorar completamente cada monômio. Em seguida, podemos encontrar os divisores comuns aos dois monômios e multiplicá-los para encontrar o MDC.
  • 12x5=223xxxxx12x^5=\blueD{2}\cdot \blueD{2} \cdot {3}\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x} \cdot x \cdot x
  • 8x3=222xxx8x^3=\blueD2 \cdot \blueD{2}\cdot 2 \cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}
Observe que cada monômio tem dois divisores de 2\blueD2 e três divisores de x\goldD{x}. Portanto, o máximo divisor comum dos monômios é 22xxx\blueD2 \cdot \blueD2 \cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x} ou 4x34x^3.
3) Qual é o máximo divisor comum de 5x75x^7, 30x430x^4 e 10x310x^3?

Vamos fatorar completamente cada monômio. Em seguida, podemos encontrar os divisores comuns a todos os três monômios e multiplicá-los para encontrar o MDC.
  • 5x7=5xxxxxxx5x^7=\blueD5\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x
  • 30x4=235xxxx30x^4=2\cdot {3}\cdot \blueD{5}\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}\cdot x
  • 10x3=25xxx10x^3= {2}\cdot \blueD5\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}
Observe que cada monômio tem um divisor de 5\blueD{5} e três divisores de x\goldD{x}. Portanto, o máximo divisor comum dos monômios é 5xxx\blueD5\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x} ou 5x35x^3.

Uma observação sobre a parte variável do MDC

Em geral, a parte variável do MDC para quaisquer dois ou mais monômios será igual à parte variável do monômio com a menor potência de xx.
Por exemplo, considere os monômios 6x5\blueD{6}\goldD{x^5} e 4x2\blueD{4}\goldD{x^2}:
  • Como a menor potência de xx é x2\goldD{x^2}, esta será a parte variável do MDC.
  • Então, você pode encontrar o MDC de 6\blueD6 e 4\blueD4, que é 2\blueD2, e multiplicá-lo por x2\goldD{x^2} para obter 2x2\blueD2\goldD{x^2}, o MDC dos monômios!
Claro! A fatoração completa de cada monômio é dada abaixo:
  • 6x5=23xxxxx6x^5=\blueD2\cdot 3\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}\cdot x\cdot x\cdot x
  • 4x2=22xx4x^2=\blueD2\cdot 2\cdot \goldD{x}\cdot\goldD{x}
Observe que o MDC é, de fato, 2x22x^2.
É especialmente útil entender isso na hora de calcular o MDC de monômios com potências de xx muito grandes. Por exemplo, seria muito tedioso fatorar completamente monômios como 32x10032x^{100} e 16x8816x^{88}!

Desafios

4*) Qual é o máximo divisor comum de 20x7620x^{76} e 8x92 8x^{92}?

Observe que 20x7620x^{76} é o monômio com a menor potência de xx. Portanto, a parte variável do MDC será x76x^{76}.
O MDC de 2020 e 88 é 44.
Portanto, o MDC de 20x7620x^{76} e 8x928x^{92} é 4x764x^{76}.
5*) Qual é o máximo divisor comum de 40x5y240x^5y^2 e 32x2y3 32x^2y^3?

Para encontrar o máximo divisor comum de 40x5y240x^5y^2 e 32x2y332x^2y^3, vamos fatorar completamente cada monômio e ver o que eles têm um comum.
  • 40x5y2=2225xxxxxyy40x^5y^2=\blueD2\cdot \blueD2\cdot \blueD{2}\cdot 5\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}\cdot {x}\cdot x\cdot x \cdot\greenD{y}\cdot \greenD{y}
  • 32x2y3=22222xxyyy32x^2y^3=\blueD{2}\cdot \blueD{2}\cdot\blueD{2}\cdot{2}\cdot {2}\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}\cdot\greenD{y}\cdot \greenD{y}\cdot y
Cada monômio tem três divisores de 2\blueD{2}, dois divisores de x\goldD{x} e dois divisores de y\greenD{y} em comum. Portanto, o máximo divisor comum do polinômio é 222xxyy\blueD2\cdot\blueD2\cdot \blueD 2 \cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}\cdot \greenD{y}\cdot \greenD{y} ou 8x2y28x^2y^2.
De maneira alternativa, observe que a menor potência de xx é x2x^2 e que a menor potência de yy é y2y^2. Portanto, a parte variável do MDC será x2y2x^2y^2. O MDC de 4040 e 3232 é 88 e, portanto, o MDC dos monômios é 8x2y28x^2y^2.

O que vem agora?

Para saber como podemos usar essas habilidades para fatorar polinômios, confira nosso próximo artigo sobre fatoração do máximo divisor comum!
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