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Mais exemplos de fatoração de equações do segundo grau como (x+a)(x+b)

Transcrição de vídeo

RKA - Nesse vídeo, quero fazer alguns exemplos de fatoração de polinômio de segundo grau que é, frequentemente, chamado de quadrático (às vezes, um polinômio de segundo grau, ou só um quadrático em si, ou expressão quadrática, mas todos esses significam que é um polinômio de segundo grau). Ele vai ter uma variável elevada à segunda potência. Nesse caso, em todos os exemplos que vamos fazer, será "x". Vamos dizer que eu tenha essa expressão quadrática: x² + 10x + 9. Quero fatorar isso em produtos de dois binômios. Como faremos isso? Bom, vamos só pensar no que acontece se pegarmos "x + a" e multiplicar isso por "x + b". Se fôssemos multiplicar essas duas coisas, o que aconteceria? Bom, temos um pouco de experiência em fazer isso. Vai ser "x" vezes "x" (que é "x²"), mais "x" vezes "b" (que é "bx"), mais "a" vezes "x" (mais "ax"), mais "a" vezes "b" (mais "ab"). Ou, se quisermos somar esses dois no meio aqui, porque os dois são coeficientes de "x", poderíamos escrever isso como "x²" mais... posso escrever isso como "b + a" ou "a + b" "x" mais "ab". Em geral, se assumirmos que esse é o produto de dois binômios, vemos que este coeficiente do meio... este coeficiente do meio, no termo "x" (poderia dizer que o coeficiente de primeiro grau ali), vai ser a soma de "a" e "b". Então, o termo constante vai ser um produto de "a" e "b". Note, isso levaria a isso; e isso levaria a isso. Claro, isso é a mesma coisa que isso. Podemos de alguma forma combinar isso com isso? Tem algum "a" e "b" onde "a + b" é igual a 10? E... "a" vezes "b" é igual a 9? Bom, vamos só pensar nisso um pouco. Quais são os fatores de 9? Quais são as coisas que poderiam ser iguais a "a" e "b"? Estamos assumindo que tudo é um inteiro. Normalmente, quando estamos fatorando (especialmente, quando estamos começando a fatorar), estamos lidando com números inteiros. Quais são os fatores de 9? "1", "3" e "9". Então, poderia ser um 3 e um 3, ou poderia ser 1 e um 9. Agora, se é um 3 e um 3, então você terá "3 + 3", que não é igual a 10. Mas, se isso é 1 e um 9, 1 vezes 9 é 9. 1 mais 9 é 10. Então, funciona, "a" poderia ser igual a 1. E "b" poderia ser igual a 9. Poderíamos fatorar isso como sendo "x + 1", vezes "x + 9". Se você multiplicar estes dois, usando as habilidades que desenvolvemos nos últimos vídeos, verá que isso é, com certeza, x² + 10x + 9. Quando vê alguma coisa como essa, quando o coeficiente no termo de x², ou o coeficiente líder nessa quadrática, é 1, pode dizer "tudo bem, quais os dois números que são somados a esse coeficiente aqui?" Aqueles mesmos dois números. Quando pega seu produto, eles têm que ser iguais a 9. Claro, isso tem que estar na forma padrão. Ou, se isso não estiver na forma padrão, deveria colocar nessa forma para dizer: ok, o que quer que esteja no coeficiente de primeiro grau, meu "a" e "b" têm que somados a isso.... o que quer que seja meu termo constante, meu "a" vezes "b", o produto tem que ser esse. Vamos fazer mais alguns exemplos. Acho que quanto mais exemplos a gente fizer, mais sentido vai fazer. Digamos que temos x² mais 10x mais... Bom, já fiz "10x", vamos fazer um número diferente. x² + 15x + 50. Queremos fatorar isso. Mesmo exercício. No mesmo exercício a gente tem um termo x². Temos um termo de primeiro grau. Aqui deveria ser a soma de dois números. Então, esse termo, o termo independente aqui, deveria ser o produto de dois números. Precisamos pensar em dois números que, quando multiplico dá 50, e, quando eu somo, dá 15. Isso vai ser uma arte que vai desenvolver; mas, quanto mais pratica, mais vai perceber que acontece naturalmente. O que poderia ser um "a" e um "b"? Vamos pensar sobre os fatores de 50. Poderia ser 1 vezes 50. 2 vezes 25. Vamos ver. 4 não vai dar 50, poderia ser 5... vezes 10. Acho que são todos eles. Vamos tentar estes números e ver se algum desses soma 15. 1 mais 50 não somam 15. 2 mais 25 não somam 15. Mas 5 mais 10 somam 15. Então, poderia ser 5 mais 10. E poderia ser 5 vezes 10. Se fôssemos fatorar isso, poderia ser igual a "x + 5" vezes "x + 10". Multiplicar isso. Aconselho a multiplicar isso e ver com certeza que é x² + 15x + 10. Na verdade, vamos lá, vamos fazer isso. "x" mais "x"? "x²"... "x" vezes 10? Mais "10x". 5 vezes "x"? Mais "5x". 5 vezes 10? Mais 50. Note: o 5 vezes 10 dá 50. "5x" mais o "10x" está dando o "15x" (no meio). Então, é x² + 15x + 50. Vamos colocar alguns sinais negativos aqui. Digamos que eu tenha x² - 11x + 24. Agora, é exatamente o mesmo princípio: preciso pensar em dois números que, quando somados, precisam ser iguais a -11 ("a + b" precisa ser igual a -11). E "a" vezes" "b precisa ser igual a 24. Agora, tenho uma coisa para você pensar: quando eu multiplico os dois números, tenho um número positivo. Tenho o 24. Isso significa que ambos precisam ser positivos, ou os dois precisam ser negativos. É a única forma que eu terei um número positivo aqui. Agora, se quando eu somo os dois, obtenho um número negativo... se esses forem positivos, não tem como somar dois números positivos e obter um número negativo. Então, o fato de que a sua soma é negativa, e o fato de que o seu produto é positivo, me diz que os dois, "a" e "b", são negativos. Eles têm que ser negativos. Um não pode ser negativo e o outro ser positivo, porque o produto seria negativo. Os dois não podem ser positivos porque, quando soma, tem um número positivo. Vamos pensar sobre o que "a" e "b" podem ser. Dois números negativos. Então, vamos pensar sobre os fatores de 24. Vamos ter que pensar nos fatores negativos. Mas deixa eu ver. Poderia ser 1 vezes 24; 2 vezes 12; 3 vezes 8; ou 4 vezes 6. Agora, qual desses, quando eu multiplico... bom, obviamente, quando eu multiplico 1 vezes 24, eu tenho 24. Quando eu tenho 2 vezes 12 (isso é 2 vezes 12), tenho 24. Sabemos que todos esses, os produtos são 24. Mas qual desses, qual desses dois fatores, quando somo, deve dar 11? Aí poderemos dizer: "vamos pegar o negativo dos dois". Quando você olha para esses, 3 e 8 se destacam. 3 vezes 8 é igual a 24. 3 mais 8 é igual a 11. Mas isso não funcionaria, não é? Porque temos um -11 aqui. Mas e se fizéssemos -3 e -8? -3 vezes -8 é igual a +24. -3 mais -8 é igual a -11 (-11). -3 e - 8 dá certo. Se fatorarmos isso, x² - 11x + 24, será igual a "(x - 3) ‧ (x - 8)". Vamos fazer outro como esse. Na verdade, vamos misturar isso um pouquinho. Digamos que eu tivesse... que eu tivesse x² + 5x - 14. Aqui, temos uma situação diferente. O produto dos meus dois números é negativo, certo? "a" vezes "b" é igual a -14. Meu produto é negativo. Isso me diz que um deles é positivo e um deles é negativo. Quando eu somo os dois ("a + b") será igual a 5. Vamos pensar sobre os fatores de 14. Quais combinações dele, quando somo, se um é positivo e um negativo, ou pegando a diferença dos dois, tenho 5. Se eu pegasse 1 e 14... vou só testar as coisas, 1 e 14. -1 mais 14 é - 13. Não, não. -1 mais 14 é 13 "+13". Deixa eu escrever todas essas combinações que eu poderia fazer. Eventualmente, seu cérebro vai fazer isso automaticamente. Você tem -1 mais 14 é igual a 13. 1 mais -14 é igual -13. Esses não funcionam. Não, não tem soma igual a 5. Agora, sobre 2 e 7? Se eu fizer -2... (deixa eu fazer isso em uma cor diferente)... se eu fizer -2 mais 7, isso é igual a 5. Terminamos, deu certo! Quer dizer, poderíamos ter tentado 2 mais -7, mas isso seria igual a -5. Então, esse não funcionaria. Mas -2 mais 7 funciona. E -2 vezes 7 é -14. Então, está aí. Sabemos que é "(x - 2) ‧ (x + 7)". É bem legal! -2 vezes 7 é -14. -2 mais 7 é +5. Vamos fazer mais alguns desses? Só para a gente ficar bom nisso. Digamos que temos x² - x - 56. O produto de dois números tem que ser -56. A diferença... (porque um vai ser positivo, e um vai ser negativo, certo?)... sua a diferença tem que ser - 1. Os números que imediatamente aparecem na minha cabeça (e não sei se eles aparecem na sua, acabamos de aprender isso na tabela de tabuada): 56 é 8 vezes 7. Quer dizer, tem outros números. É também 28 vezes 2, têm vários. Mas 8 vezes 7 realmente vem à minha cabeça porque eles estão bem perto um do outro. Precisamos de números que sejam bem próximos um do outro. Um deles tem que ser positivo; e o outro, negativo. Agora, o fato de que quando sua soma é negativa me diz que o maior desses dois, em módulo, deverá provavelmente ser negativo. Então, se pegarmos -8 vezes 7, é igual a -56. Se pegarmos -8 mais 7, isso é igual a -1, que é exatamente o coeficiente do "x" aqui. Quando eu fatoro isso, vai ser "(x - 8) ‧ (x + 7)". Esse é frequentemente um dos conceitos mais difíceis que as pessoas aprendem em álgebra porque é um pouco artístico. Você tem que olhar para todos esses fatores aqui, e brincar com os sinais (positivo e negativo), ver qual desses fatores, quando é positivo e é negativo, somam ao coeficiente no termo "x". Mas, quanto mais fizer e praticar, vai ver que isso se torna mais natural. Agora, vamos avançar mais um pouquinho. Digamos que tínhamos um "-x²". Tudo o que fizemos até agora tinha um coeficiente positivo no x². Um coeficiente 1 positivo no termo x². Mas, vamos dizer que temos um - x² - 5x + 24. Como fazemos isso? A forma mais fácil que posso pensar em fazer isso é fatorar o "-1" e, então, isso se transforma como os problemas que fizemos antes. Então, é a mesma coisa que "-1" vezes "x" positivo ao quadrado mais "5x" menos 24, certo? Só fatorei o "-1". Você pode multiplicar -1 vezes todos esses e vai ver que isso se transformaria nisso. Ou pode fatorar o -1 e dividir tudo isso por -1 e você tem aquilo ali. Agora, a mesma brincadeira de antes. Preciso de dois números que, quando pego o seu produto, eu obtenha -24. Um será positivo e o outro, negativo. Quando somo... (e pode imaginar)... quando somo, vai dar 5. Então, vamos pensar em 24. Será 1 e 24. Vamos ver. Se é -1 e 24, seria 23 positivo. Se fosse da forma contrária, seria - 23, não funciona. 2 e 12? Bom, isso é negativo. Lembre-se, um desses tem que ser negativo. Se esse 2 é negativo, sua soma é 10. Se o 12 é negativo, sua soma é -10. Também não funciona. 3 e 8? Se o 3 é negativo, sua soma será 5. Opa, então funciona! Se pegarmos -3 e 8, -3 e 8 dão certo, porque -3 mais 8 é 5. -3 vezes 8 é -24. Vai ser igual a... não posso esquecer do -1 na frente; e, aí, fatoramos a parte de dentro. -1 ‧ (x - 3) ‧ (x + 8). Se quisesse, poderia multiplicar o -1 vezes este, e você teria "3 - x" se fizesse. Ou não precisa fazer. Vamos fazer mais um. Quanto mais praticar, melhor, eu acho. Está legal! Vamos dizer que tenha -x² + 18x - 72. Mais uma vez, eu gosto de fatorar o -1. Isto é igual a -1 vezes x² - 18x + 72. Agora, só temos que pensar em dois números que, quando multiplico, eu obtenho 72 (positivo). Então, eles têm que ter o mesmo sinal. Isso fica mais fácil na nossa cabeça, pelo menos na minha cabeça. Quando eu multiplico, tenho +72. Quando somo, tenho -18. Eles têm o mesmo sinal e sua soma é um número negativo. Os dois têm que ser negativos. Então, os dois são negativos. E poderíamos ir através dos fatores de 72; mas o que aparece, talvez pense em 8 vezes 9: "+8" vezes "+9", ou "-8" vezes "-9". Ou "-8" mais "-9"... não dá certo, pois tem soma -17. Chegou perto. Deixa eu te mostrar isso: "-9" mais "-8", isso é igual a -17. Perto, mas não rolou. Quais os outros que estão aqui? Temos 6 e 12. Isso, na verdade, parece bom. Se temos -6 mais -12, é igual a -18. Está vendo? É a arte. Tem que tentar fatores diferentes aqui. Isso vai se tornar -1. Não deve esquecer que... vezes "x - 6", vezes "x - 12".