Fatoração de expressões de segundo grau em qualquer forma

Reúna tudo o que aprendeu sobre a fatoração de expressões de segundo grau para fatorar diversas expressões de segundo grau em qualquer forma.

Com o que você deve estar familiarizado antes dessa lição

Os seguintes métodos de fatoração serão utilizados nessa lição:

O que você vai aprender nessa lição

Neste artigo, você vai praticar o uso combinado desses métodos para fatorar completamente expressões de segundo grau em qualquer forma.

Introdução: revisão dos métodos de fatoração

MétodoExemploQuando é aplicável?
Fator comum em evidência= 6x2+3x=3x(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~6x^2+3x\\\\&=3x(2x+1)\\\\\end{aligned}Se cada termo do polinômio tem um fator comum.
Padrão soma e produto= x2+7x+12=(x+3)(x+4)\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+7x+12\\\\&=(x+3)(x+4)\end{aligned}Se o polinômio está na forma x2+bx+cx^2+bx+c e existem fatores de cc cuja soma é bb.
Método do agrupamento= 2x2+7x+3=2x2+6x+1x+3=2x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~2x^2+7x+3\\\\&=2x^2+6x+1x+3\\\\&=2x(x+3)+1(x+3)\\\\&=(x+3)(2x+1)\\\\\\\end{aligned}Se o polinômio está na forma ax2+bx+cax^2+bx+c e existem fatores de acac cuja soma é bb.
Trinômios quadrados perfeitos= x2+10x+25=(x+5)2\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+10x+25\\\\&=(x+5)^2\end{aligned}Se o primeiro e o último termo são quadrados perfeitos e o termo do meio é duas vezes o produto de suas raízes quadradas.
Diferença de quadrados=  x29=(x3)(x+3)\begin{aligned}&\phantom{=}~~x^2-9\\\\&=(x-3)(x+3)\end{aligned}Se a expressão representa uma diferença de quadrados.

Resumindo

Na prática, você raramente será informado de que tipo de método(s) de fatoração deve(m) ser usado(s) quando encontrar um problema. Então é importante que você desenvolva algum tipo de lista de verificação para ajudar a deixar o processo de fatoração mais fácil.
Aqui está um exemplo desse tipo de lista, na qual uma série de perguntas é feita para determinar como fatorar o polinômio quadrático.

Fatoração de expressões de segundo grau

Antes de iniciar qualquer problema de fatoração, é interessante escrever a sua expressão na forma padrão.
Uma vez que esse é o caso, você pode prosseguir para a seguinte lista de perguntas:
Pergunta 1: existe um fator comum?
Se não, siga para a Pergunta 2. Em caso positivo, coloque o MDC em evidência e continue para a Pergunta 2.
Colocar o MDC em evidência é um passo muito importante no processo de fatoração, já que torna os números menores. Isso, por sua vez, faz com que seja mais fácil reconhecer padrões!
Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados (isso é, x216x^2-16 ou 25x2925x^2-9)?
Se houver uma diferença de quadrados, fatore usando o padrão a2b2=(a+b)(ab)a^2-b^2=(a+b)(a-b). Se não, prossiga para a Pergunta 3.
Pergunta 3: existe um trinômio quadrado perfeito (por exemplo, x210x+25x^2-10x+25 ou 4x2+12x+94x^2+12x+9)?
Se um trinômio quadrado perfeito estiver presente, fatore usando a fórmula a2±2ab+b2=(a±b)2a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2. Se não, siga para a Pergunta 4.
Pergunta 4:
a.) Existe uma expressão na forma x2+bx+cx^2+bx+c?
Se não, siga para a Pergunta 5. Se sim, siga para b).
b.) Existem fatores de cc que somam bb?
Em caso positivo, use a fatoração por soma e produto. Caso contrário, a expressão de segundo grau não poderá ser mais fatorada.
Pergunta 5: Há fatores de acac cuja soma dá bb?
Se você chegou até aqui, a expressão do segundo grau deve estar na forma ax2+bx+cax^2+bx+c em que a1a\neq 1. Se há fatores de acac cuja soma dá bb, fatore usando o método do agrupamento. Se não há, a expressão do segundo grau não pode ser fatorada além disso.
Seguir essa lista de verificação ajudará a garantir que você tenha fatorado a expressão de segundo grau completamente!
Com isso em mente, vamos testar alguns exemplos.

Exemplo 1: fatoração de 5x2805x^2-80

Perceba que a equação já está na forma padrão. Nós podemos seguir para a lista de verificação.
Pergunta 1: existe um fator comum?
Sim. O MDC de 5x25x^2 e 8080 é 55. Nós podemos colocá-lo em evidência do seguinte modo:
5x280=5(x216)5x^2-80=5({x^2-16})
Pergunta 2: existe uma diferença de dois quadrados?
Sim. x216=(x)2(4)2x^2-16=(\blueD {x})^2-(\greenD 4)^2. Nós podemos usar o padrão da diferença de dois quadrados para continuar fatorando o polinômio como mostrado abaixo.
5x280=5((x)2(4)2)=5(x+4)(x4)\begin{aligned}\phantom{5x^2-80}&=5\left((\blueD {x})^2-(\greenD 4)^2\right)\\ \\ &=5(\blueD x+\greenD 4)(\blueD x-\greenD 4)\end{aligned}
Não existem mais termos quadráticos na equação. Nós fatoramos completamente o polinômio,
Em conclusão, 5x280=5(x+4)(x4)5x^2-80=5(x+4)(x-4).

Exemplo 2: fatoração de 4x2+12x+94x^2+12x+9

A expressão de segundo grau está novamente na forma padrão. Vamos começar a lista de verificação!
Pergunta 1: existe um fator comum?
Não. Os termos 4x24x^2, 12x12x e 99 não têm um fator comum. Próxima pergunta.
Pergunta 2: existe uma diferença de quadrados?
Não. Há um termo em xx então não pode ser uma diferença de quadrados. Próxima pergunta.
Pergunta 3: existe um trinômio quadrado perfeito?
Sim. O primeiro termo é um quadrado perfeito, já que 4x2=(2x)24x^2=(\blueD{2x})^2, e o último termo é um quadrado perfeito, já que 9=(3)29=(\greenD 3)^2. Além disso, o termo do meio é o dobro do produto dos números que estão elevados ao quadrado, já que 12x=2(2x)(3)12x=2(\blueD{2x})(\greenD{3}).
Nós podemos usar o padrão do trinômio quadrado perfeito para fatorar a expressão de segundo grau.
=4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}&\phantom{=}4x^2+12x+9\\\\&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD{2x})(\greenD{3})+(\greenD{3})^2\\\\&=(\blueD{2x}+\greenD 3)^2\end{aligned}
Em conclusão, 4x2+12x+9=(2x+3)24x^2+12x+9=(2x+3)^2.

Exemplo 3: fatoração de 12x63+3x212x-63+3x^2

A expressão de segundo grau não está na forma padrão. Nós podemos reescrevê-la como 3x2+12x633x^2+12x-63 e então proceder com a lista de verificação.
Pergunta 1: existe um fator comum?
Sim. O MDC de 3x23x^2, 12x12x e 6363 é 33. Então podemos fatorar da seguinte maneira:
3x2+12x63=3(x2+4x21)3x^2+12x-63=3(x^2+4x-21)
Pergunta 2: existe uma diferença de quadrados?
Não. Próxima pergunta.
Pergunta 3: existe um trinômio quadrado perfeito?
Não. Repare que 2121 não é um quadrado perfeito, então esse não pode ser um trinômio quadrado perfeito. Próxima pergunta.
Pergunta 4a: existe uma expressão com a forma x2+bx+cx^2+bx+c?
Sim. A expressão do segundo grau resultante, x2+4x21x^2+4x-21, tem essa forma.
Pergunta 4b: existem fatores de cc cuja soma dá bb?
Sim. Especificamente, há fatores de 21-21 cuja soma dá 44.
Como 7(3)=217\cdot(-3)=-21 e 7+(3)=47+(-3)=4, nós podemos continuar fatorando da seguinte maneira:
3(x2+4x21)=3(x2+4x21)=3(x+7)(x3)\begin{aligned}\phantom{3(x^2+4x-21)}&=3(x^2+4x-21)\\ \\ &=3(x+7)(x-3)\\ \end{aligned}
Em conclusão, 3x2+12x63=3(x+7)(x3)3x^2+12x-63=3(x+7)(x-3).

Exemplo 4: fatoração de 4x2+18x104x^2+18x-10

Observe que essa expressão de segundo grau já está na forma padrão.
Pergunta 1: existe um fator comum?
Sim. O MDC de 4x24x^2, 18x18x de 1010 é 22. Nós podemos fatorar da seguinte maneira:
4x2+18x10=2(2x2+9x5)4x^2+18x-10=2(2x^2+9x-5)
Pergunta 2: existe uma diferença de quadrados?
Não. Próxima pergunta.
Pergunta 3: existe um trinômio quadrado perfeito?
Não. Próxima pergunta.
Pergunta 4a: existe uma expressão com a forma x2+bx+cx^2+bx+c?
Não. O coeficiente principal no fator de segundo grau é 22. Próxima pergunta.
Pergunta 5: existem fatores de acac cuja soma dá bb?
A expressão de segundo grau resultante é 2x2+9x52x^2+9x-5, então queremos encontrar fatores de 2(5)=102\cdot (-5)=-10 cuja soma dá 99.
Como (1)10=10(-1)\cdot 10=-10 e (1)+10=9(-1)+10=9, a resposta é sim.
Agora nós podemos escrever o termo do meio como 1x+10x-1x+10x e usar o método de agrupamento para fatorar:
= 2(2x2+9x5)=2(2x21x+10x5)Separe o termo do meio=2((2x21x)+(10x5))Agrupe os termos=2(x(2x1)+5(2x1))Coloque os MDCs em evidnciaeˆ=2(2x1)(x+5)Coloque  em evidncia2x1eˆ\begin{aligned}&\phantom{=}~2(2x^2+9x-5)\\\\ &=2(2x^2-1x+10x-5)&&\small{\gray{\text{Separe o termo do meio}}}\\ \\ &=2\left((2x^2-1x)+(10x-5)\right)&&\small{\gray{\text{Agrupe os termos}}}\\\\ &=2\left(x(2x-1)+5(2x-1)\right)&&\small{\gray{\text{Coloque os MDCs em evidência}}}\\\\ &=2(2x-1)(x+5)&&\small{\gray{\text{Coloque $2x-1$ em evidência}}} \end{aligned}

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