Dimensionamento e reflexão de parábolas

RKA - A função "g" é uma versão transformada da função "f(x) = x²". Qual é a função "g(x)"? Vamos fazer passo a passo. Vemos que a concavidade de "f(x)" é voltada para cima, então, vamos fazer a concavidade voltada para baixo. Nós temos agora nossa função espelhada em torno do eixo "x", ou seja, que quando "x" for "-1", que leva a 1, aqui "-1" vai levar "-1"; quando "x" for 1 leva 1, aqui vai levar a "-1"; quando "x" for 2 leva a 4. Então, quando "x" for 2, vai levar a "-4"; e aqui, quando "x" for -2" leva a 4, aqui vai levar a "-4", e nós temos uma parábola deste tipo, ou seja, ela está espelhada em torno do eixo "x". Mas nós queremos abrir esta função. Para abrir esta função, devemos multiplicar por um fator, e este fator deve estar entre 0 e 1, pois se você colocar um fator muito grande aqui, como 2, 4, 16, a versão vai crescer muito mais rapidamente, negativamente. Ou seja, você vai ter que pegar um valor que esteja, negativamente, entre 0 e 1. Vamos pegar um valor conveniente. Ou seja, sabemos que quando "x" for 2, "y" é "-1", logo "2²" é 4. E essa conta tem que dar "-1". Portanto, nosso fator conveniente é 1/4. E chegamos na nossa versão: "g(x)" igual a "-1/4" vezes "x²". Então, vamos verificar se esta função está funcionando. Quando "x" for 2, nós temos "2²", que é 4, vezes "-1/4", temos 4 dividido por 4 é 1, e vamos ter "-1". Então, realmente, vamos passar por este ponto "(2, -1)". E quando for -2, - 2² é 4 dividido por 4 é 1, temos este sinal negativo e vamos passar por "-1" também. Quando "x" for 4, nós temos "4²" que é 16 dividido por 4 dá 4, temos um sinal negativo, e vamos ter "-4". Portanto, quando for 4 vamos ter "-4". E quando o "x" for "-4", temos "-4²", dá 16 positivo dividido por 4, vamos ter 4, temos este sinal negativo e vamos ter o valor "-4". Então, realmente, "g(x)" é desta forma. Uma outra maneira de se resolver esta equação seria colocando "g(x) = a * x²", porque nós sabemos que ela está passando no eixo "y" no ponto 0 e ela é simétrica ao eixo "y". Portanto, ela não tem nem o termo "b" nem o termo "c", e sabemos que para "x = 2", nós temos que a função vale "-1". Substituindo os valores nós temos que "-1" vai ser igual a "a" vezes "2²", ou seja, vamos ter que nosso "a" vai ser "-1" dividido por "2²", dá 4, que vai dar "-1/4". Então, podemos escrever nossa função: "g(x) = -1/4 * x²". O importante a notar nesta transformada é que fizemos em dois passos: em primeiro lugar, nós giramos em torno do eixo "x", pois a concavidade está para cima e multiplicando por "-1" fizemos a concavidade ficar para baixo; e depois, para que ela ficasse mais larga, mais esticada, multiplicamos por um fator que ficasse entre 0 e 1. Com isso, ela fica mais larga. Se tivéssemos multiplicado por um fator que fosse 4, 8, 16, ela iria ficar bem mais fechada. Convenientemente, achamos "1/4", pois dado valor, quando "x" for 2 ela é "-1", significa que, substituindo "2²", temos 4 e esta multiplicação tem que dar "-1." Portanto, o fator conveniente é "-1/4" e com isso chegamos na nossa função: "g(x)" igual a "-1/4" vezes "x²", e essa sendo a nossa resposta final.