Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:14:06

Transcrição de vídeo

nesse vídeo vou mostrar uma técnica chamada completando o quadrado completando o quadrado o legal é que ela funciona com qualquer equação do segundo grau e na verdade é a base da fórmula de bàscara num vídeo posterior eu vou provar a fórmula de bàscara usando essa mesma técnica mas antes disso precisamos entender do que se trata é uma complementação do que vimos no último vídeo que a gente soluciona equações de segundo grau usando quadrados perfeitos digamos que eu tenha a equação x ao quadrado - 4 x é igual a 5 inclui esse espaço aqui por um motivo a gente viu que pode ser simples calcular isso se o lado esquerdo for um quadrado perfeito completar o quadrado significa transformar a equação de segundo grau num quadrado perfeito somando e subtraindo dos dois lados para ela se tornar um quadrado perfeito como fazemos isso para que o lado esquerdo se torne um quadrado perfeito tem que ter algum número que tem que ter um número que é elevado ao quadrado da esse número e que x 2 dá menos quatro acho que vai ficar claro com alguns exemplos eu quero que x ao quadrado - 4 x mais alguma coisa seja igual à x - a ao quadrado ainda não sabemos o valor de a mas sabemos algumas coisas isto vai ser x ao quadrado - dois a mais a ao quadrado então esse padrão aqui isto tem que ser é perdão x ao quadrado - dois à x isso aqui tem que ser dois ashes e isso aqui teria que ser a ao quadrado oa vai ser metade de -4 oa tem que ser menos dois certo porque 2 vezes a vai ser menos com a a e menos 2 e se a é menos 2 quanto é ao quadrado ao quadrado vai ser 4 pode parecer complicado mas eu estou mostrando a lógica basta olhar este coeficiente e se perguntar qual é a metade do coeficiente metade deste coeficiente é menos dois então dá pra falar que há é igual a menos dois a mesma idéia ali depois você e leva ao quadrado ea elevada ao quadrado da 4 adicionamos 4 ac mais 14 agora desde a primeira equação que fizemos você sabe que não pode fazer algo apenas de um lado da equação não podemos somar quatro anos o lado da equação se x ao quadrado - 4 x fosse igual a 5 quando somou 4 não vai ser mais igual a 5 vai ser igual a 5 + 4 somamos quatro ao lado esquerdo porque queremos que isto seja um quadrado perfeito mas se soma ao lado esquerdo tem que somar ao direito então chegamos a um problema igual aos problemas do vídeo anterior o que tem do lado esquerdo ou reescrever tudo tem x ao quadrado - 4 x mais quatro é igual a 9 só somamos quatro aos dois lados da equação mas somamos de propósito para que o lado esquerdo se tornasse um quadrado perfeito que número multiplicado por si mesmo é igual a quatro e quando somos assim mesmo é igual ao menos dois já sabemos a resposta é menos dois ficamos com um x menos 2 vezes x - dois é igual a 9 ou poderia ter pulado esse passo inscrito x - 2 ao quadrado é igual a 9 e com a raiz quadrada dos dois lados ficamos com um x - dois é igual a mais ou menos 3 somando 2 aos dois lados ficamos com x é igual a dois mais ou menos 3 isso nos diz que x pode ser igual a dois mais três que é 5 ou x pode ser igual a 2 - 3 que é - um e terminamos eu quero deixar bem claro dava pra ter solucionado sem completar o quadrado a gente podia ter começado com um x ao quadrado - 4 x é igual a 5 podia ter subtraído 5 dos dois lados e ficado confusa ao quadrado - 4 x menos 5 é igual a zero daí diríamos que se tenho menos cinco vezes um o produto é menos 5 ea soma é menos quatro isto é x menos cinco vezes x mais um é igual a zero e diria que x é igual a 5 ou x é igual a menos um neste caso talvez fosse uma forma mais rápida de solucionar o problema mas o legal da técnica de completar o quadrado é que ela sempre funciona sempre funciona independentemente dos coeficientes ou da dificuldade do problema e vou provar vamos fazer um que seria bem complicado se tentasse resolver com faturação principalmente se fosse pra agrupar temos 10 x ao quadrado 10x ao quadrado menos 30 x menos 8 é igual a zero logo de cara você pode pensar em dividir os dois lados por dois isso vai simplificar vamos dividir os dois lados por dois dividindo tudo por dois fica com o quê fica com 5 x ao quadrado menos 15 x - 41 é igual a zero mas fica com esses cinco maluco na frente do coeficiente teria que fazer por agrupamento que é um processo doloroso mas podemos começar a completar o quadrado e pra fazer isso eu vou dividir por cinco para obter um como coeficiente líder e veremos porque isso é diferente do que costumamos fazer seu dividir tudo por 5 poderia ter dividido logo por 10 mas eu quis dar esse passo primeiro para mostrar que não estaria muito vamos dividir tudo por cinco se dividir tudo por cinco ficamos com x ao quadrado - 3 x menos quatro quintos igual a zero e você se pergunta por que usar a faturação por agrupamento se a gente pode dividir pelo coeficiente líder não precisa daquilo pode transformar isso em 1 - 1 se dividir pelo número certo mas repare que ficamos com esse quatro quintos malucos então é bem difícil de fazer só usando faturação a gente teria que calcular quais números tirando o produto são iguais a menos quatro quintos é uma fração ea soma dela tem que ser igual ao menos três é um problema difícil com faturação é difícil de solucionar usando a faturação a faturação a melhor opção é completar o quadrado vamos pensar em como podemos transformar num quadrado perfeito tem duas formas de fazer vou mostrar as duas porque os professores usam as duas eu gosto de levar o quatro quintos para o outro lado vamos somar quatro quintos aos dois lados da equação não precisa fazer assim mas eu quero tirar os quatro quintos do caminho e o que acontece se somar quatro quintos aos dois lados da equação o lado esquerdo vira x ao quadrado - 3 x nada de quatro quintos vou deixar um espaço aqui e isto vai ser igual a quatro quintos como no último problema quero transformar no lado esquerdo no quadrado perfeito de um binômio como fazemos isso é bom com número vezes dois é igual a menos três algum número vezes 2 dá menos três pegamos menos três e dividimos por 2 o que dá menos três sobre dois depois e levamos menos três sobre dois ao quadrado no exemplo a gente fala que há é menos três sobre dois se elevar menos três sobre dois ao quadrado do que dá 9 sobre quatro peguei metade do coeficiente e levei ao quadrado e deu nove sobre quatro objetivo disso é transformar o lado esquerdo num quadrado perfeito o que fizer de um lado tem que fazer do outro somamos 19 quartos vamos somar aqui também como ficou nossa equação fica com um x ao quadrado - 3 x mais nove sobre quatro é igual a vejamos se têm um denominador comum quatro quintos é o mesmo que 16 sobre 20 multiplicou numerador e o denominador por quatro mais sobre 29 sobre quatro é igual a se multiplicar o número de dor por 51 a 45 sobre 20 quanto da 16 mais 45 tá ficando complicado mas é isso que é legal em em completar os quadrados 16 mais 45 55 61 e isso é igual a 61 sobre 20 vou reescrever x ao quadrado - 3 x mais nove sobre quatro é igual a 61 sobre 20 que número maluco aqui pelo menos do lado esquerdo é um quadrado perfeito é igual à x - 3 sobre dois ao quadrado e deu certinho menos três sobre 2 vezes - três sobre dois da 9 sobre 4 - 3 sobre dois mais - 3 sobre dois é igual a menos 3 isto ao quadrado é igual a 61 sobre 20 dá pra tirar a raiz quadrada dos dois lados e ficaremos com um x - 3 sobre dois é igual à esquadra positiva ou negativa de 61 sobre 20 agora podemos somar 3 sobre dois aos dois lados da equação e ficamos com um x é igual a 3 sobre dois mais ou menos a raiz quadrada de 61 sobre 20 esse é o número maluco e não teria chegado nele apenas através da faturação se quiser saber os valores use a calculadora vou zerar isso aqui saiu daqui e 0 isso aqui saiu daqui 0 aqui vamos fazer a versão positiva 1º 3 / 2 mais a segunda raiz quadrada amarela raiz quadrada de 61 / 20 que é 3,24 e se 3,2 464 maluco vou escrever 3,246 isto é igual aproximadamente 3,2 46 e esta é a versão positiva vamos fazer a versão da subtração se apertar second depois entre ele repete o que digitamos e então dá pra mudar o sinal de adição para o de subtração e o resultado é menos 0,24 61 resultado é menos 0,24 6 você pode verificar que satisfaz a nossa equação original a equação original estava aqui vou verificar uma delas a segunda resposta na calculadora é a última resposta que você usa se usa a variável resposta é esse número aqui se tenho a minha resposta ao quadrado resposta representa menos 0,24 resposta ao quadrado menos três vezes resposta - 4 sobre 54 / 5 é igual só para explicar ela não guarda um número inteiro vai até um certo nível de precisão dá um certo número de dígitos quando calcula usando o número guardado aqui chega a um vez 10 a 14ª potência negativa então isso é 0,0000 são 13 zeros e depois um uma vírgula decimal 30 c e 1 ou seja é 0 se quiser a resposta exata no grau infinito de precisão ou se mantiveram na forma de calvia que realmente é igual a zero espero que tenha achado útil essa técnica de completar o quadrado agora vamos estendê la a fórmula de basca para daí usar na solução de qualquer equação de segundo grau fui