O discriminante é a parte da fórmula de Bhaskara sob o símbolo da raiz quadrada: b²-4ac. O discriminante nos diz se há duas soluções, uma solução, ou nenhuma solução.

Revisão relâmpago da fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara determina que
x=b±b24ac2ax=\dfrac{-\goldD{b}\pm\sqrt{\goldD{b}^2-4\purpleD{a}\redD{c}}}{2\purpleD{a}}
para toda equação do segundo grau como:
ax2+bx+c=0\purpleD{a}x^2 + \goldD{b}x + \redD{c} = 0

O que é discriminante?

O discriminante\goldD{\text{discriminante}} é a parte da fórmula de Bhaskara sob a raiz quadrada.
x=b±b24ac2ax=\dfrac{-{b}\pm\sqrt{\goldD{b^2-4ac}}}{2a}
O discriminante pode ser positivo, igual a zero, ou negativo, e isso determina quantas soluções há para a equação do segundo grau dada.
  • Um discriminante positivo indica que a equação do segundo grau tem duas soluções de números reais diferentes.
  • Um discriminante igual a zero indica que a equação do segundo grau tem uma solução de número real repetido.
  • Um discriminante negativo indica que nenhuma das soluções é composta por números reais.
Quer entender essas regras em um nível mais detalhado? Confira este vídeo.

Exemplo

Temos uma equação do segundo grau e precisamos saber quantas soluções ela tem:
6x2+10x1=06x^2+10x-1 =0
A partir da equação, vemos que:
  • a=6a=6
  • b=10b=10
  • c=1c=-1
Inserindo esses valores no discriminante, obtemos:
b24ac=1024(6)(1)=100+24=124\begin{aligned} &b^2-4ac\\\\ =&10^2-4(6)(-1)\\\\ =&100+24\\\\ =&124 \end{aligned}
Este é um número positivo, então a equação do segundo grau tem duas soluções.
Isso faz sentido se pensarmos no gráfico correspondente.
Gráfico de y=6x^2+10x-1
Observe como ele cruza o eixo xx em dois pontos. Em outras palavras, há duas soluções com um valor de yy igual a 00, então deve haver duas soluções para nossa equação original: 6x2+10x1=06x^2+10x-1 =0.

Prática

Problema 1
f(x)=3x2+24x+48f(x) = 3x^2+24x+48
Qual é o valor do discriminante de ff?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 66
  • uma fração própria simplificada, como 3/53/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/47/4
  • um número misto, como 1 3/41\ 3/4
  • um número decimal exato, como 0,750{,}75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
Quantos números reais são zeros de ff?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 66
  • uma fração própria simplificada, como 3/53/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/47/4
  • um número misto, como 1 3/41\ 3/4
  • um número decimal exato, como 0,750{,}75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}

Quer praticar mais? Confira este exercício.
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