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Problemas com expressões do segundo grau (forma canônica)

Transcrição de vídeo

RKA - Um objeto é lançado de uma plataforma. Sua altura, em metros, "x" segundos após o lançamento, é de escrita por: h(x) = -5 (x - 4)² + 180. Bom, normalmente segundos a gente costuma usar a letra "t" ao invés do "x", mas isso não faz diferença. Vamos visualizar aqui como ficaria isso. Eu tenho aqui a minha altura em metros e aqui o tempo. Ele fala que o objeto é lançado de uma plataforma. Então quando o tempo é zero ele vai estar aqui em algum lugar. Colocar aqui. E aí o projétil é lançado. Ele vai escrever uma parábola, uma parábola para baixo. E como eu sei que é uma parábola aberta para baixo? Bom, primeiro porque a gente já sabe que se você joga um objeto, se você lança um objeto, se a gente está aqui na terra, isso é o que vai acontecer. A altura vai diminuir, ele vai cair por causa da gravidade. Mas olhando aqui para a expressão, a gente já consegue deduzir isso por causa do -5. Como o -5 está multiplicando tudo isso aqui, o nosso termo principal vai ser negativo. Se você fizer distributiva, aqui vai dar -5x². Então, nosso termo principal será negativo. É por isso que a parábola é para baixo. E, eu te pergunto: a plataforma vai estar a alguma altura do chão, vai ser um valor maior que zero. Mas qual vai ser essa altura? Qual a altura da plataforma? Simples. Quando o tempo é 0, ou seja, o projetil nem foi lançado ainda, ele está na plataforma, o nosso "x" é 0. Então, basta a gente calcular o "h" de 0. O "h" quando o tempo é 0. Quando o "x" for 0. Isso vai ser igual a o quê? - 5. E aqui eu vou substitui o "x" por 0. Então, vai sobrar o -4² + 180. O -4² vai dar 16. 16 × (-5) dá -80. -80 + 180 vai dar 100. E isso daqui tudo vai dar 100. Então, a altura da plataforma é 100 metros. A altura está em metros. 100 metros. Então, o projetil é lançado de uma plataforma que está 100 metros, e eu te pergunto, quanto tempo após o lançamento, o objeto atinge sua altura máxima? Deixar eu abrir um espaço aqui. Colocar esse gráfico mais para cá. Então, quanto tempo após o lançamento o objeto atinge a sua altura máxima? Bom, a altura máxima, ela corresponde ao vértice da parábola. Então, ela corresponde ao vértice. E eu quero saber em quanto tempo esse vértice vai ser atingido? Quanto tempo aqui em segundos. Então, para descobrir, para responder isso aqui, a gente só precisa encontrar a coordenada "x" do vértice. Vamos dar uma olhada na expressão aqui. A gente tem dois termos. A gente tem 180, e a gente tem esse termo aqui. Qualquer coisa que for elevado ao quadrado vai dar positivo. Só que a gente tem o -5 que multiplica tudo isso. Então vai dar um valor negativo. Qualquer valor que a gente colocar para "x" que aumentar o valor desse termo, vai resultar em um valor mais negativo. O que significa que vai tirar mais do 180. Então, 180 é o valor máximo que o "h(x)" pode chegar. A gente precisa fazer esse termo, então, ser igual a 0. Então, o valor máximo precisam ser quando esse termo aqui for igual a 0. Para isso, isso aqui precisa ser igual a 0. E para isso aqui ser igual a 0, "x" precisa ser igual a 4. Então, vai ser o "h(4)" vai ser igual, isso aqui vai ser 0, então vai sobrar 180. 180. Então, a minha altura máxima que é 180 metros, ela é atingida 4 segundos após o lançamento. E a última pergunta que eu quero fazer. Eu nem vou escrever aqui porque não vai caber na lousa. É a seguinte: quanto tempo depois do lançamento o objeto vai chegar ao chão? A altura vai ser 0. Então, quando "h(x)" for igual a 0. E aí o "h(x)" a gente pode substituir por isso. -5 (x -4)² +180 = 0. É só resolver. Deixa eu puxar um pouco pra cá. - -5 (x - 4)², vou passar o 180 para lá. Ele passa negativo. Agora posso dividir os dois lados por -5. Então, (x - 4)² = 36 x - 4 vai ser igual a 6. Ou x - 4 vai ser igual a -6. Aqui o "x" vai ser igual a 10. Ou então ele vai ser igual ao -2. Como a gente está lidando com o tempo, a gente não vai lidar com o valor negativo, que é o -2. A gente vai lidar com "x = 10". O -2, ele estaria para cá. Estaria aqui o -2. A gente quer esse valor aqui, que é 10. Então é isso. Se a gente considerar a h = 0 como sendo o chão, então vai ser esse o momento em que o objeto vai atingir o chão. Após 10 segundos do lançamento. Espero que você tenha gostado do vídeo e até o próximo.