Prova: √2 é irracional

nesse vídeo eu quero provar que a raiz quadrada de 2 e irracional e vou fazer através de uma prova por contradição a prova por contradição é preparada assumindo o posto este é o nosso objetivo mas para o bem da nossa prova vamos assumir o oposto vamos assumir que a raiz quadrada de 2 e racional e ver se leva a uma contradição que na verdade não pode ser o caso esse não pode ser o caso de que é racional se chegar a uma contradição supondo que a raiz quadrada de 2 e racional a gente tem que deduzir que a raiz quadrada de 2 deve ser racional então vamos assumir o posto a raiz quadrada de 2 é racional bom se a raiz quadrada de 2 e racional significa que podemos escrever a raiz quadrada de 2 como a razão de dois inteiros a a e b e também dá pra assumir que eles não possuem fatores em comum digamos que eles tinham alguns fatores em comum se dividir o numerador e o denominador por aqueles mesmos fatores então está chegando numa situação onde eles não têm fatores em comum ou outra forma de dizer é que a e b são co primos ou outra forma de dizer é que a gente pode escrever como uma razão de dois inteiros onde é irredutível e esses não compartilham mais nenhum fator se conseguir escrever qualquer coisa como a razão de dois inteiros então pode obviamente simplificar e mais tarde faturar qualquer fator comum para obterem um ponto onde é irredutível vou assumir que meu a e b desta fração é irredutível e isso é importante pra preparar nossa contradição vou assumir que é irredutível a e b não possuem fatores em comum deixou escrever em baixo porque é muito importante para essa prova a e deixa fazer a mesma coisa a e b não possuem outros fatores em comum não possuem outros fatores em comum além de acho um então é irredutível estes dois números são co primos o que isso significa para a gente a gente vai tentar manipular um pouco vamos colocar ao quadrado os dois lados dessa equação então se colocará principal raiz de 2 ao quadrado irá obter 2 e vai ser igual a ao quadrado sobre de ao quadrado e vendo a sobre b o quadrado que a mesma coisa que ao quadrado sobre bem ao quadrado agora podemos multiplicar os dois lados por bem o quadrado e assim obtemos duas vezes de ao quadrado é igual a aal quadrado o que isso nos diz sobre ao quadrado ao quadrado é algum número b ao quadrado vezes 2 qualquer coisa vezes dois vai ser o inteiro supomos que b é um inteiro então b ao quadrado deve ser um inteiro e você tem um inteiro vezes 2 isso deve te dar um número par isso deve te dar um número inteiro para 1 ao quadrado deve ser o a ao quadrado deve ser porque é interessante um quadrado é o produto de dois números ou é o produto do mesmo número é avisar é outra forma de dizer que avisar epá o que isso nos diz sobre a vamos apenas lembrar a pode ser estamos supondo que há é um inteiro a pode ser para o empate a gente tem que lembrar que se multiplicar um número par vezes um número par obtemos um número para se multiplicar um empate vezes um empate obtemos um número ímpar tem um número vezes ele mesmo obtemos um número ímpar a única maneira de obter aquilo e se aquele número for pa então isso nos diz qa é pá e outra forma de dizer que a epa é dizer que a pode ser como o produto de 2 vezes algum inteiro digamos que algum inteiro cá bom e onde é que a gente vai chegar como vai ver a gente pode usar pra mostrar que bb também deve ser par então vamos pensar nisso um pouco vamos voltar a este passo aqui se disser que a pode ser representado como duas vezes o produto de algum inteiro e que vem do fato de que a epa na para reescrever essa expressão como dois e vou fazer como 2 vezes b ao quadrado é igual a 2k ao quadrado em vez de ao quadrado posso escrever 2k ao quadrado estamos dizendo o deduzindo que supondo que tudo que acabamos de assumir que há é parcial é par pode ser representado como um produto de 2 e algum inteiro e dá pra escrever que 2 vezes b ao quadrado é igual a 4 cá ao quadrado carro quadrado e de vídeo os dois lados por dois e obtém b ao quadrado é igual a 2call quadrado e nos diz que bom kao quadrado será um inteiro você pega qualquer inteiro vezes 2 e vai obter um valor para e nos diz que bell quadrado para o disque b ao quadrado epá se b ao quadrado é pa pela mesma lógica que acabamos de usar isso nos diz que o bê pa então aqui está nossa contradição assumimos no começo que a e b não possuem fatores em comum além do 1 assumimos que essa fração a sobre b é irredutível mas disto e do fato de que há sobre b deve ser igual a raiz quadrada de dois conseguimos deduzir que a hepatite b pa se é para b pá e os dois têm dois como um fator então não é irredutível você pode dividir o numerador e um denominador por 2 a e b possui um fator comum de dois apenas para deixar claro então disto e disto temos que a e b com o fator este fator comum de dois que significa que há sobre b é redutível e esta é a contradição você assume que uma raiz quadrada de 2 pode ser representada como uma fração irredutível de a sobre b irredutível porque pode dizer que a razão de dois inteiros que leva a contradição que na verdade pode ser redutível portanto não pode fazer essa suposição isto leva uma contradição a raiz quadrada de 2 deve ser irracional