Prova: √2 é irracional

RKA - Nesse vídeo, eu quero provar que a raiz quadrada de 2 é irracional. E vou fazer através de uma prova por contradição. A prova por contradição é preparada assumindo o oposto. Este é o nosso objetivo. Mas, para o bem da nossa prova, vamos assumir o oposto. Vamos assumir que a raiz quadrada de 2 é racional e ver se leva a uma contradição; que, na verdade, não pode ser o caso. E, se não pode ser o caso de que é racional, se chegar a uma contradição, supondo que a raiz quadrada de 2 é racional, a gente tem que deduzir que a raiz quadrada de 2 deve ser irracional. Então, vamos assumir o oposto: a raiz quadrada de 2 é racional. Bom, se a raiz quadrada de 2 é racional, significa que podemos escrever a raiz quadrada de 2 como a razão de dois inteiros, "a" e "b". E também dá para assumir que eles não possuem fatores em comum. Digamos que eles tinham alguns fatores em comum. Se dividir o numerador e o denominador por aqueles mesmos fatores, então está chegando numa situação onde eles não têm fatores em comum. Outra forma de dizer é que "a" e "b" são coprimos. Outra forma de dizer é que a gente pode escrever como uma razão de dois inteiros onde é irredutível e esses não compartilham mais nenhum fator. Se conseguir escrever qualquer coisa como a razão de dois inteiros, então pode obviamente simplificar, e mais tarde fatorar qualquer fator comum para obter em um ponto onde é irredutível. Vou assumir que meu "a" e "b" desta fração é irredutível. E isso é importante para preparar nossa contradição. Vou assumir que é irredutível. "a" e "b" não possuem fatores em comum. Deixa eu escrever embaixo, porque é muito importante para essa prova. "a" e... (deixa fazer da mesma cor)... "a" e "b" não possuem outros fatores em comum. Além de, acho, 1. Então é irredutível. Estes dois números são coprimos. O que isso significa para a gente? A gente vai tentar manipular um pouco. Vamos colocar ao quadrado os dois lados dessa equação. Então, se colocar a principal raiz de 2 ao quadrado, irá obter 2. E vai ser igual a "a²" sobre "b²". E vendo "(a/b)²", que é a mesma coisa que "a²/b²". Agora podemos multiplicar os dois lados por "b²", e assim obtemos: 2 vezes "b²" é igual a "a²". O que isso nos diz sobre "a²"? "a²" é algum número, "b²" vezes 2. Qualquer coisa vezes 2 vai ser o inteiro. Supomos que "b" é um inteiro. Então, "b²" deve ser um inteiro. E você tem um inteiro vezes 2, e isso deve te dar um número par. Isso deve te dar um número inteiro par. Um "a²" deve ser... o "a²" deve ser par. Por que é interessante? Um quadrado é o produto de dois números ou é o produto do mesmo número, é "a" vezes "a". Essa é outra forma de dizer que "a" vezes "a" é par. O que isso nos diz sobre "a"? Vamos apenas lembrar: "a" pode ser... estamos supondo que "a" é um inteiro, "a" pode ser par ou ímpar. A gente tem que lembrar que, se multiplicar um número par vezes um número par, obtemos um número par. Se multiplicar um ímpar vezes um ímpar, obtemos um número ímpar. Tenho um número vezes ele mesmo. Obtemos um número ímpar, a única maneira de obter aquilo é se aquele número for par. Então, isso nos diz que "a" é par. E outra forma de dizer que "a" é par, é dizer que "a" pode ser representado como o produto de 2 vezes algum inteiro. Digamos que algum inteiro "k" Bom, e onde é que a gente vai chegar? Como vai ver, a gente pode usar para mostrar que "b" também deve ser par. Então, vamos pensar nisso um pouco. Vamos voltar a este passo aqui. Se disser que "a" pode ser representado como duas vezes o produto de algum inteiro, e que vem do fato de que "a" é par, dá para reescrever essa expressão como 2 vezes b² é igual a "(2k)². Em vez de "a²", posso escrever "(2k)²". Estamos dizendo, ou deduzindo, que supondo que tudo que acabamos de assumir, que "a" é par. Se "a" é par, pode ser representado como um produto de 2 e algum inteiro. E dá para escrever que dois vezes "b²" é igual a "4k²". E, divide os dois lados por 2, e obtém "b²" é igual a "2k²". E nos diz que... bom, "k²" será um inteiro. Você pega qualquer inteiro vezes 2 e vai obter um valor par, e nos diz que "b²" é par. Diz que "b²" é par. Se "b²" é par, pela mesma lógica que acabamos de usar, isso nos diz que "b" é par. Então, aqui está nossa contradição. Assumimos, no começo, que "a" e "b" não possuem fatores em comum além do 1. Assumimos que esta fração, "a/b", é irredutível. Mas disto, e do fato de que "a"/b" deve ser igual a raiz quadrada de 2, conseguimos deduzir que "a" é par e "b" é par. Se "a" é par e "b" é par, e os dois têm 2 como um fator, então não é irredutível. Você pode dividir o numerador e o denominador por 2. "a" e "b" possuem um fator comum de 2. Apenas para deixar claro: então, disto e disto, temos que "a" e "b" com o fator... este fator comum de 2, que significa que "a/b" é redutível e esta é a contradição. Você assume que uma raiz quadrada de 2 pode ser representada como uma fração irredutível de "a/b" irredutível, porque pode dizer que a razão de dois inteiros, que leva à contradição (que, na verdade, pode ser redutível). Portanto, não pode fazer essa suposição. Isto leva uma contradição: a raiz quadrada de 2 deve ser irracional.