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Prova: raízes quadradas de números primos são irracionais

Transcrição de vídeo

no vídeo anterior a gente usou uma prova por contradição para mostrar que a raiz quadrada de 2 e racional nesse vídeo essencialmente eu quero usar o mesmo argumento mas de uma maneira mais geral para mostrar que a raiz quadrada de qualquer número primo é irracional vamos considerar que pr o número primo e determinar que essa será uma prova por contradição a gente vai supor que a raiz quadrada dp é racional e veremos se nos leva a alguma contradição se algo irracional significa que dá pra representar como sendo a razão entre dois números inteiros e se pode representar algo como sendo a razão entre dois números inteiros significa que podemos também representá lo como a razão entre dois números inteiros e primos entre si ou dois números inteiros que não tenham fatores comuns ou que dei para representar como uma fração que é redutível supondo que esta fração que estou escrevendo a sobre b é uma fração irredutível e aí você diz bom como eu posso fazer o fato de ser racional e permite representar a raiz quadrada dp como uma fração uma razão entre dois números inteiros e se eu puder representar qualquer coisa como sendo a razão entre dois números inteiros posso continuar dividindo tanto o numerador quanto o denominador pelos fatores comuns até que eventualmente chegue a uma fração irredutível logo suponho que este seja o ponto em que estamos aqui não pode ser reduzido é importante para a nossa prova não pode ser reduzido o que é outra forma de dizer que a e b são primos entre si que é outra forma de dizer que a e b não compartilham fatores comuns a não ser um vamos ver se conseguimos manipular um pouco vamos calcular o quadrado dos dois lados e obtemos que p é igual a um bom mas o bebê ea fração elevada ao quadrado é a mesma coisa que ao quadrado sobre b ao quadrado podendo multiplicar os dois lados por beau quadrado aí obtemos qb ao quadrado vezes p é igual a ao quadrado o que isso nos diz sobre ao quadrado de é um número inteiro então bem ao quadrado deve ser um número inteiro logo um número inteiro vezes p é igual ao quadrado significa que o pp deve ser fator de ao quadrado ao quadrado em um múltiplo dp múltiplo dp o que nos diz sobre a dizer então que a deve também ser um múltiplo dp certo pra pensar vamos pensar sobre a faturação em fatores primos de a digamos que a pode ser de qualquer número dá pra ser reescrito como um produto de primos ou qualquer número inteiro é legal escrever como um produto de primos digamos que eu tenha meu primeiro fator primo vezes meu segundo fator primo até o enézimo fator primo eu não sei quantos fatores primos há de fato possui estou apenas dizendo que há um número inteiro aqui esta é a faturação do ar em fatores primos qual será a faturação do ar em fatores primos ao quadrado é apenas a vezes a sua faturação prima será f1 vezes f2 até fn isso vezes f1 vezes f2 multiplicado as é o fn ou posso rearranjar se quiser f1 vezes f1 vezes f2 vezes f2 até fn vezes fn a gente sabe que ao quadrado é um múltiplo de p&p é o número primo então p deve ser um desses números na faturação em fatores primos e pode ser f2 o pp pode ser f 1 mas precisa ser um desses números na faturação em fatores primos p precisa ser um desses fatores bom se é digamos vou escolher um desses arbitrariamente digamos que pf dois se pf dois significa que p é também fator de a isso nos permite deduzir que há é um múltiplo de p a a um múltiplo dp ou outra forma de dizer é que podemos representar a como sendo um número inteiro vezes p e por que isso é interessante na verdade eu vou circular porque vamos reutilizar essa parte daqui a pouco mas como podemos usar isto exatamente como fizemos na prova da raiz quadrada de dois uma vez que é irracional vamos colocar de volta nesta equação aqui a gente vai ter meia ao quadrado vezes p b ao quadrado vezes p tem b ao quadrado vezes pq é igual a ao quadrado estamos falando agora que podemos representar como sendo um número inteiro cá o número inteiro cá vezes p dá pra reescrever como um número inteiro cavs p vejamos se multiplicasse isso a gente teria bem ao quadrado vezes pei provavelmente já sabe onde vai dar é igual a ca ao quadrado vezes p ao quadrado e pode dividir os dois lados por p e teremos b ao quadrado é igual a pvc fiscal quadrado o carro quadrado vezes p o mesmo argumento que usamos se á ao quadrado é igual a b ao quadrado vezes p se ao quadrado é igual abel quadrado vezes p e nos mostra que ao quadrado é um múltiplo de p agora tem ao contrário b ao quadrado é igual ao número inteiro ao quadrado que ainda vai ser um número inteiro vezes p b ao quadrado deve ser um múltiplo gp e nos mostra que b ao quadrado é um múltiplo de p pela lógica que aplicamos isso nos mostra que b é um múltiplo de p b é em um múltiplo de pé essa é a nossa contradição ou demonstra a contradição que admitimos lá no comecinho a gente fez uma suposição que a e b são primos entre si e que eles não têm fatores comuns um serum nossa sua posição era de que não poderia ser reduzido mas acabamos de demonstrar apenas com isto deduzimos que há é um múltiplo de peb1 múltiplo dp o que significa que essa relação pode ser simplificada para dividir o numerador e um denominador p esta é a nossa contradição começamos supondo que ela não poderia ser reduzida mas mostramos que não que ela pode ser reduzida o numerador e um determinador tem p como fator comum então nossa contradição está demonstrada a raiz quadrada dp não pode ser racional a raiz quadrada dp é racional e me permite escrever a raiz quadrada dp é irracional por causa da contradição que conseguimos provar