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Prova: raízes quadradas de números primos são irracionais

Transcrição de vídeo

RKA - No vídeo anterior, a gente usou uma prova por contradição para mostrar que a raiz quadrada de 2 é irracional. Nesse vídeo, essencialmente, eu quero usar o mesmo argumento, mas de uma maneira mais geral. Para mostrar que a raiz quadrada de qualquer número primo é irracional. Vamos considerar que "p" é um número primo e determinar que essa será uma prova por contradição. A gente vai supor que a raiz quadrada de "p" é racional e veremos se nos leva a alguma contradição. Se algo é racional, significa que dá para representar como sendo a razão entre dois números inteiros. E, se pode representar algo como sendo a razão entre dois números inteiros, significa que podemos também representá-lo como a razão entre dois números inteiros e primos entre si. Ou dois números inteiros que não tenham fatores comuns ou que dê para representar como uma fração que é redutível. Supondo que esta fração que estou escrevendo, "a/b", é uma fração irredutível, e, aí, você diz: "bom, como eu posso fazer?" O fato de ser racional me permite representar a raiz quadrada de "p" como uma fração, uma razão entre dois números inteiros. E, se eu puder representar qualquer coisa como sendo a razão entre dois números inteiros, posso continuar dividindo, tanto o numerador, quanto o denominador, pelos fatores comuns até que, eventualmente, chegue a uma fração irredutível. Logo, suponho que este seja o ponto em que estamos aqui, não pode ser reduzido; e é importante para a nossa prova. Não pode ser reduzido, o que é outra forma de dizer que "a" e "b" são primos entre si, que é outra forma de dizer que "a" e "b" não compartilham fatores comuns a não ser 1. Vamos ver se conseguimos manipular um pouco. Vamos calcular o quadrado dos dois lados e obtemos que "p" é igual a... bom, "a/b" e a fração elevada ao quadrado é a mesma coisa que "a²/b²"; podendo multiplicar os dois lados por "b²". Aí, obtemos que "b²" vezes "p" é igual a "a²". O que isso nos diz sobre "a²"? "b" é um número inteiro, então "b²" deve ser um número inteiro. Logo, um número inteiro vezes "p" é igual a "a²". Significa que o "p" deve ser fator de "a²". "a²" é um múltiplo de "p". O que nos diz sobre "a"? Diz, então, que "a" deve também ser um múltiplo de "p". Certo? Para pensar, vamos pensar sobre a fatoração em fatores primos de "a". Digamos que "a" pode ser... e qualquer número dá para ser reescrito como um produto de primos ou qualquer número inteiro. É legal escrever como um produto de primos. Digamos que eu tenha meu primeiro fator primo vezes meu segundo fator primo até o enésimo fator primo. Eu não sei quantos fatores primos "a" de fato possui; estou apenas dizendo que "a" é um número inteiro aqui. Esta é a fatoração do "a" em fatores primos. Qual será a fatoração do "a" em fatores primos? "a²" é apenas "a" vezes "a". Sua fatoração prima será "f₁" vezes "f₂" até "fₙ", isso vezes "f₁" vezes "f₂" multiplicado até "fₙ"; ou posso rearranjar, se quiser, "f₁" vezes "f₁" vezes "f₂" vezes "f₂" até "fₙ" vezes "fₙ". A gente sabe que "a²" é um múltiplo de "p", e "p" é um número primo. Então, "p" deve ser um desses números na fatoração em fatores primos. "p" pode ser "f₂" ou "p" pode ser "f₁", mas "p" precisa ser um desses números na fatoração em fatores primos ("p" precisa ser um desses fatores). Bom, vou escolher um desses arbitrariamente. Digamos que "p" é "f₂". Se "p" é "f₂", significa que "p" é também fator de "a". Isso nos permite deduzir que "a" é um múltiplo de "p". Ou, outra forma de dizer é que podemos representar "a" como sendo um número inteiro vezes "p". E por que isso é interessante? Na verdade, eu vou circular, porque vamos reutilizar essa parte daqui a pouco. Mas como podemos usar isto? Exatamente como fizemos na prova da raiz quadrada de 2, uma vez que é irracional, vamos colocar de volta nesta equação aqui. A gente vai ter "b²" vezes "p"... tem "b²" vezes "p", que é igual a "a². Estamos falando, agora, que podemos representar como sendo um número inteiro "k" vezes "p". Dá para reescrever como um número inteiro "k" vezes "p". Vejamos, se multiplicasse isso, a gente teria "b²" vezes "p", e provavelmente já sabe onde vai dar. É igual a "k²" vezes "p²", e pode dividir os dois lados por "p", e teremos "b²" é igual a "p" vezes "k²", ou "k²" vezes "p". O mesmo argumento que usamos. Se "a²" é igual a "b²" vezes "p", e nos mostra que "a²" é um múltiplo de "p", agora tem ao contrário. "b²" é igual a um número inteiro ao quadrado, que ainda vai ser um número inteiro vezes "p". "b²" deve ser um múltiplo de "p", e nos mostra que "b²" é um múltiplo de "p". Pela lógica que aplicamos, isso nos mostra que "b" é um múltiplo de "p". "b" é em um múltiplo de "p". Essa é a nossa contradição, ou demonstra a contradição que admitimos lá no comecinho. A gente fez uma suposição que "a" e "b" são primos entre si e que eles não têm fatores comuns a não ser o 1. Nossa suposição era de que não poderia ser reduzido, mas acabamos de demonstrar apenas com isto; deduzimos que "a" é um múltiplo de "p", e "b" é um múltiplo de "p". O que significa que essa fração pode ser simplificada. Dá para dividir o numerador e o denominador por "p". Esta é a nossa contradição. Começamos supondo que ela não poderia ser reduzida, mas mostramos que não, que ela pode ser reduzida. O numerador e o denominador têm "p" como fator comum. Então, nossa contradição está demonstrada. A raiz quadrada de "p" não pode ser racional. A raiz quadrada de "p" é irracional, e me permite escrever a raiz quadrada de "p" é irracional por causa da contradição que conseguimos provar.