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Prova: há um número irracional entre quaisquer dois números racionais

Transcrição de vídeo

nesse vídeo quero provar que entre quaisquer dois números racionais vamos dizer que tem um número racional ali e digamos que este é outro número racional que é maior que este aqui que entre quaisquer dois números racionais dá pra encontrar um número irracional aquele número ali é irracional dá pra encontrar pelo menos um número irracional é meio louco porque existem vários números racionais tem um número infinito de números racionais então estamos dizendo que entre quaisquer dois números racionais sempre é possível encontrar um número irracional e vamos começar a pensar sobre isso apenas pensando sobre o intervalo entre 0 e 1 se pensar sobre o intervalo entre 0 e 1 a gente sabe que existem números e racionais ali na verdade um deles que pode aparecer pra você e é um sobre a raiz quadrada de 2 que é a mesma coisa que a raiz quadrada de 2 sobre dois que é igual não deveria de ser igual é grosseiramente aproximadamente igual a 0,707 106 78 18 dá pra continuar e seguir seguir adiante isto não se repete mas o ponto importante é que está claramente entre 0 e 1 poderia escrever um sobre a raiz quadrada de 2 está entre 0 e 1 a maneira que vou provar que tem um número irracional entre quaisquer dois números racionais é que vou começar com esse conjunto de desigualdades irei manipular para terminar com um rr ac e 1 r 2 aqui de um sobre a raiz quadrada de dois teria que manipular pra construir aquele irracional pelo menos um dos números racionais que está entre aqueles dois números racionais então em vez de fazer esse intervalo entre 0 e 1 vamos fazer disso um intervalo entre zero e a diferença entre esses dois números a distância entre r 1 e r 2 r2 menos r 1 então vamos multiplicar os dois lados disso ou todas as três partes dessa desigualdade acho que poderia dizer por r 2 - é rio se multiplicar por este 10 vezes r 2 - r um bom você ainda terá 0 ali é menor do que sabemos que r 2 é maior do que r 1 r 2 - vou deixar claro que estamos fazendo vamos multiplicar tudo vezes r 2 - e rio r 2 e assumimos que seja maior do que r 1 e tudo será maior do que zero então se multiplicar os lados diferentes de uma desigualdade por alguma coisa maior do que zero não troca a desigualdade 10 vezes aquino e 01 sobre a raiz quadrada de 2 vezes aquilo será um sobre a raiz quadrada de 2 vezes r2 menos r 1 e então vai ser menor que é bom uma vez aquilo vai ser r 2 menos r 1 e agora tem só que deslocar tudo aqui então vamos somar vamos somar r 1 em todos os lados disso se somar alguma coisa a todas as partes dessa desigualdade não irá mudar a desigualdade certo vamos somar r 1 aqui dá pra somar r 1 aqui e podemos somar r 1 aqui do lado esquerdo tem r 11 menor que r 1 mais deixou copiar e colar tudo pra não ter que manter as cores opa na hora que eu queria fazer aí pronto assim deve estar muito bom então copiar e colar r 1 mais isto e mais aquilo mas aquilo é menor do que aquele é um tom de azul diferente e é menor do que o que é r 1 mais r 2 - rio vai ser r 2 então acabei de mostrar que me dando quaisquer dois números racionais estou presumido que r 2 é maior que r 1 apenas construir qualquer número irracional que estará entre aqueles dois números racionais você pega r 1 e pega o menor dos números racionais e a isso soma 1 sobre a raiz quadrada de 2 vezes a diferença entre aqueles dois números racionais e vai obter aqui como um número irracional você está dizendo ah como sei que tudo isso como posso saber que é um número irracional bom nós já vimos você pega o produto de qualquer irracional e um racional e obtém um número irracional você pega a soma de um número irracional e o número racional e obtém um número irracional construímos um número irracional que está entre esses dois números racionais