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Prova: há um número irracional entre quaisquer dois números racionais

Transcrição de vídeo

RKA - Neste vídeo, quero provar que entre quaisquer dois números racionais... vamos dizer que tem um número racional ali e digamos que este é outro número racional, que é maior que este aqui... que entre quaisquer dois números racionais dá para encontrar um número irracional. Aquele número ali é irracional. Dá para encontrar pelo menos um número irracional. E é meio louco, porque existem vários números racionais. Tem um número infinito de números racionais. Então, estamos dizendo que, entre quaisquer dois números racionais, sempre é possível encontrar um número irracional. E vamos começar a pensar sobre isso apenas pensando sobre o intervalo entre zero e 1. Se pensar sobre o intervalo entre zero e 1, a gente sabe que existem números irracionais ali. Na verdade, um deles que pode aparecer para você é 1 sobre a "raiz quadrada de 2", que é a mesma coisa que a "raiz quadrada de 2" sobre 2, que é igual... não deveria de dizer igual... é grosseiramente, aproximadamente, igual a "0,70710678118"... e dá para continuar, e seguir, e seguir adiante; isto não se repete. Mas o ponto importante é... e está, claramente, entre zero e 1. Poderia escrever 1 sobre a "raiz quadrada de 2" está entre zero e 1. A maneira que vou provar que tem um número irracional entre quaisquer dois números racionais é que vou começar com esse conjunto de desigualdades, e irei manipular para terminar com um "r" aqui e um "r₂" aqui. De 1 sobre a "raiz quadrada de 2" teria que manipular para construir aquele irracional (pelo menos um dos números irracionais que está entre aqueles dois números racionais). Então, em vez de fazer esse intervalo entre zero e 1, vamos fazer disso um intervalo entre zero e a diferença entre esses dois números. A distância entre "r₁" e "r₂" é "(r₂ - r₁)". Então, vamos multiplicar os dois lados disso, ou todas as três partes dessa desigualdade (acho que poderia dizer) por "(r₂ - r₁)". Se multiplicar por este zero vezes "(r₂ - r₁)".... bom, você ainda terá zero ali... é menor do que... (e sabemos que "r₂" é maior do que "r₁")... "r₂" menos... vou deixar claro que estamos fazendo, vamos multiplicar tudo vezes "(r₂ - r₁)". "r₂" e assumimos que seja maior do que "r₁" e tudo será maior do que zero. Então, se multiplicar os lados diferentes de uma desigualdade por alguma coisa maior do que zero, não troca a desigualdade. Zero vezes aquilo é zero. 1 sobre a "raiz quadrada de 2" vezes aquilo será 1 sobre a "raiz quadrada de 2" vezes "(r₂ - r₁)" E, então, vai ser menor que... bom, uma vez aquilo vai ser "(r₂ - r₁)". E, agora, tem só que deslocar tudo aqui. Então, vamos somar. Vamos somar "r₁" em todos os lados disso. Se somar alguma coisa a todas as partes dessa desigualdade, não irá mudar a desigualdade, certo? Vamos somar "r₁" aqui... dá para somar "r₁" aqui... e podemos somar "r₁" aqui. Do lado esquerdo tem "r₁" menor que "r₁" mais... (deixa eu copiar e colar tudo para não ter que manter as cores; opa, não era o que eu queria fazer... aí, pronto... assim deve estar muito bom... então, copiar e colar)... "r₁" mais isto e mais aquilo. é menor do que... (aquele é um tom de azul diferente)... e é menor do que... O que é "r₁ + r₂ - r₁"? Vai ser "r₂". Então, acabei de mostrar que me dando quaisquer dois números racionais... (estou presumido que "r₂" é maior que "r₁")... apenas construí qualquer número irracional que estará entre aqueles dois números racionais. Você pega "r₁" e pega o menor dos números racionais e a isso soma 1 sobre a "raiz quadrada de 2", vezes a diferença entre aqueles dois números racionais e vai obter, aqui, como um número irracional. Você está dizendo: "Ah, como sei que tudo isso... Como posso saber que é um número irracional?" Bom, nós já vimos! Você pega o produto de qualquer irracional e um racional e obtém um número irracional. Você pega a soma de um número irracional e um número racional e obtém um número irracional. Construímos um número irracional que está entre esses dois números racionais.