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Prova: o produto entre números racionais e irracionais é irracional

Transcrição de vídeo

RKA - Nesse vídeo, quero fazer uma prova rápida de que, se eu pegar um número racional e multiplicar por um número irracional, vai resultar num número irracional. Te aconselho a pausar esse vídeo e pensar se pode provar sozinho. E uma dica: você pode provar por uma prova através de contradição. Suponha que um racional vezes um irracional te dá um número racional. Daí, veja, ao operar isso, se pode estabelecer que, de repente, esse número irracional deve ser, de alguma forma, racional. Estou supondo que você vai tentar. Vamos pensar um pouco. Disse que vou fazer através de uma prova por contradição. Vamos assumir que um racional vezes um irracional nos dá um número racional. Então, para representar esse racional, vamos representar como uma razão de dois inteiros "a/b". Esse número irracional vou chamar apenas de "x". Estamos dizendo que "a/b" vezes "x" pode nos dar um número racional. Vamos chamar isso de "m/n". Estou supondo que um número racional (que pode ser expressado como a razão de dois inteiros) vezes um número irracional, pode me dar um outro número racional. Vamos ver se podemos preparar alguma forma de contradição. Vamos calcular os números irracionais. A melhor maneira de calcular é multiplicar os dois lados pelo inverso desse número. Vamos multiplicar vezes "b/a". E o que sobrou? Obtemos nosso número irracional "x" sendo igual a "m" vezes "b"; ou dá apenas para escrever como "mb" sobre "na". Por que é interessante? Bom, "m" é um inteiro, "b" é um inteiro. Todo esse numerador é um inteiro, e todo o denominador é algum inteiro. Aqui tem uma razão de dois inteiros. Acabei de expressar o que a gente achou ser um número irracional. Acabei de expressar como a razão de dois inteiros. Agora, tem que "x" deve ser um racional. E esta é nossa contradição, porque assumimos que "x" é irracional. Portanto, uma vez que esta suposição leva a esta contradição aqui, esta suposição deve ser falsa. Deve ser que: um racional vezes um irracional é irracional. A gente se vê no próximo vídeo.