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Transcrição de vídeo

RKA - Eu estou curioso para saber o que acontece se eu pegar um número racional e somar com um número irracional. O número do resultado será racional ou irracional? Para pensar, vamos apenas supor que vai ser racional e, então, ver se isso leva a alguma contradição. Vamos assumir que vai nos dar um número racional. Digamos que este primeiro número racional pode ser representado como uma proporção de dois inteiros: "a" e "b". Vamos chamar de número irracional. Vamos chamar de "x" e sua soma dá outro número racional. E expressar como a proporção de dois outros inteiros: "m" e "n". Estamos dizendo que "a" sobre "b" mais "x" é igual a "m" sobre "n". E o outro jeito de pensar é que a gente pode subtrair "a" sobre "b" dos dois lados e obter nosso número irracional. "x" é igual a "m" sobre "n" menos "a" sobre "b", que teria "n" vezes "b" no denominador. Vamos ver. "m" sobre "n" é igual a "mb" sobre "nb" e seria "mb". Estou apenas somando duas frações. "mb" menos... "a" sobre "b" é igual a "n" vezes "a" sobre "n" vezes "b"... então, menos "n" vezes "a". Eu só somei essas duas frações; encontrei um denominador comum. Para deixar claro, eu multipliquei por "b" e "b" e multipliquei por "n" e "n", e somei esses dois inteiros para chegar a esta expressão. Esse denominador é, claramente, um inteiro. Tenho o produto de dois inteiros, será um inteiro. E, aí, este numerador "nb" é um inteiro, "na" é um inteiro. A diferença de dois inteiros, tudo vai ser um inteiro. Então, parece que, supondo que a soma é racional, temos essa contradição. Assumimos que "x" é irracional e estamos assumindo que "x" é irracional, mas, de repente, porque fizemos aquela suposição, conseguimos supor que dá para representar como essa proporção de dois inteiros. Então, isso nos diz que "x" deve ser racional e é uma contradição (uma contradição). A suposição era que "x" fosse irracional. Agora, a gente vê que o "x" deve ser racional. Portanto, não pode ser o caso. Um racional mais um irracional deve ser irracional. Deixa eu escrever isso. Então, um racional mais um irracional deve ser irracional.