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Exemplo solucionado: expressões racionais vs. irracionais (variáveis desconhecidas)

Transcrição de vídeo

RKA - Vamos falar um pouco sobre números racionais e irracionais, operações que nós podemos fazer entre eles e com números inteiros também. Então, o primeiro exemplo é: Sejam "a" e "b" números racionais com b diferente de zero, uma vez que ele vai ficar no denominador, "a" sobre b é um número racional ou irracional? Ora, por definição, um número racional é aquele que se pode ser posto sob forma de fração entre dois números inteiros e que chega num ponto que ele não pode mais ser simplificado. Ou seja, chegando a uma fração irredutível. Então, vamos representar "a" como "m" e "n", onde m e n são números inteiros. E vamos representar b como o número entre "p" e "q", onde p e q são números inteiros também. Então, o que seria a relação entre "a" sobre "b"? "a" sobre "b" seria m sobre n dividido por p sobre q. Ora, você tem a divisão de duas frações. Você pega primeira, multiplica pelo inverso da segunda. Então, você vai ter uma coisa do tipo m vezes q sobre n vezes p. Ora, se m é um número inteiro e q é um número inteiro, m vezes q é um número inteiro. n é inteiro e p inteiro, n vezes p é um número inteiro. Portanto, você tem uma divisão entre dois inteiros, ou seja, eles pertencem ao conjunto dos números racionais. Ou seja, "a" sobre "b", nesse caso, pertence aos números racionais. Então, a resposta seria a primeira, eles formam um par racional. Vamos ver outra questão. Sejam "a" e "b" números irracionais. "a" sobre "b" é racional o irracional? Bem, nós podemos provar as duas coisas. Por exemplo, vamos pegar b sendo número racional do tipo 2 raiz de 2, e vamos pegar "a" como sendo √2 apenas. Então, o que seria "a" sobre "b"? Seria a √2 sobre, "a" sobre "b" seria a √ 2 sobre 2√2, e você teria isso igual a um meio, e um meio nós sabemos que é um número racional. Vamos pegar um contraexemplo. Vamos pegar que "a" seja igual √7 e "b" seja igual a √2. Então, o que seria "a" sobre "b"? "a" sobre "b" seria a √7 dividido pela √2. Isso, nós não vamos provar agora, mas fica de forma intuitiva. Você tem um número irracional dividido por outro número irracional e esses números não têm quadrados perfeitos. Você tem 7 sobre 2, √7 sobre 2 é o número irracional. Portanto, a divisão de dois números racionais pode tanto dá um número racional como pode dar um número irracional. Então, a melhor resposta seria essa. Tanto faz, ou seja, pode dar tanto número racional como um número irracional. Bem, vamos para o próximo exemplo. Seja "a" um número racional diferente de zero. "a" vezes √8 é racional ou irracional? Primeiro, vamos ver o que é √8. √8 é igual a √4 vezes 2, que é igual a √4 vezes √2, que é igual a 2√2. √2 é o número irracional e podemos provar em vídeos posteriores. Ora, se você tem um número multiplicado por um número irracional e esse número não é irracional, você vai ter uma conta que vai te dar um número irracional. Ou seja, mesmo "a" sendo um número racional do tipo "m" sobre "n", onde "m" e "n" são números inteiros e você multiplica por 2√2, você vai ter um número inteiro multiplicado por um número que não é uma dízima periódica, ele vai até o infinito com casas decimais. √2 é número irracional e, dividido por um número também inteiro, não vai eliminar o número de casas decimais que o √2 tem. Então, de forma intuitiva, podemos dizer que um número racional diferente de 0, multiplicado pela √8 é irracional. Em vídeos posteriores vamos provar com mais profundidade essa questão. Então, vamos para o último exemplo. Seja "a" um número irracional. O número 24 + "a" é irracional ou racional? Bem, se a é um número irracional, significa que ele tem uma quantidade de casas decimais infinitas. Quando você somar com 24, o número de casas não vai mudar. Então, vamos supor que você pegue 24 e some com pi (π), por exemplo, que é 3,1415926 etc até o infinito. Bem, quando você somar, você vai ter 27,1415926 etc até o infinito. Ou seja, você não vai ter como deixar de ser um número irracional. A mesma coisa se você fizer com √2, por exemplo. Você tem, por exemplo, você tem 24 e você soma com √2, que é um número que tem a quantidade de casas decimais até o infinito sem se repetir, você tem 25,4 e uma sequência de números infinitas sem repetição. Portanto, a soma de um número que não é irracional com outro número que é irracional é um número irracional.