Conversão das formas recursiva e explícita de progressões aritméticas

Aprenda a converter entre fórmulas recursivas e explícitas de progressões aritméticas.
Antes de estudar esta lição, certifique-se de que você sabe como encontrar as fórmulas recursivas e fórmulas explícitas de progressões aritméticas.

Conversão de uma fórmula recursiva para uma fórmula explícita

Uma progressão aritmética tem a seguinte fórmula recursiva.
{a(1)=3a(n)=a(n1)+2\begin{cases} a(1)=\greenE 3 \\\\ a(n)=a(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}
Lembre-se de que esta fórmula nos dá as duas informações a seguir:
  • O primeiro termo é 3\greenE 3
  • Para obter qualquer termo a partir do termo anterior, somamos 2\maroonC 2. Em outras palavras, a diferença comum é 2\maroonC 2.
Vamos encontrar uma fórmula explícita para a progressão.
Lembre-se de que podemos representar uma progressão cujo primeiro termo é A\greenE A e cuja diferença comum é B\maroonC B, usando a forma explícita padrão A+B(n1)\greenE A+\maroonC B(n-1).
Portanto, a fórmula explícita da progressão é a(n)=3+2(n1)a(n)=\greenE{3}\maroonC{+2}(n-1).

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Conversão de uma fórmula explícita para uma fórmula recursiva

Exemplo 1: A fórmula é dada na forma padrão

Temos a seguinte fórmula explícita de uma progressão aritmética.
d(n)=5+16(n1)d(n)=\greenE 5\maroonC{+16}(n-1)
Esta fórmula é dada na forma explícita padrão A+B(n1)\greenE A+ \maroonC B(n-1), onde A\greenE A é o primeiro termo e B\maroonC B é a diferença comum. Portanto,
  • o primeiro termo da sequência é 5\greenE 5, e
  • a diferença comum é 16\maroonC{16}.
Vamos encontrar uma fórmula recursiva para a progressão. Lembre-se de que a fórmula recursiva nos dá duas informações:
  1. O primeiro termo ((que sabemos ser 5)\greenE 5)
  2. A regra do padrão para obter-se qualquer termo a partir do termo que vem antes ((que sabemos ser "somar 16\maroonC{16}"))
Portanto, esta é uma fórmula recursiva da progressão.
{d(1)=5d(n)=d(n1)+16\begin{cases} d(1)=\greenE 5\\\\ d(n)=d(n-1)\maroonC{+16} \end{cases}

Exemplo 2: A fórmula é dada na forma simplificada

Temos a seguinte fórmula explícita de uma progressão aritmética.
e(n)=10+2ne(n)=10+2n
Observe que esta fórmula não é dada na forma explícita padrão A+B(n1)\greenE A+ \maroonC B(n-1).
Por isso, não podemos simplesmente usar a estrutura da fórmula para encontrar o primeiro termo e a diferença comum. Em vez disso, podemos encontrar os dois primeiros termos:
  • e(1)=10+21=12e(\blueD 1)=10+2\cdot\blueD 1=12
  • e(2)=10+22=14e(\blueD 2)=10+2\cdot\blueD 2=14
Agora, podemos ver que o primeiro termo é 12\greenE{12} e a diferença comum é 2\maroonC{2}.
Portanto, esta é uma fórmula recursiva da progressão.
{e(1)=12e(n)=e(n1)+2\begin{cases} e(1)=\greenE{12}\\\\ e(n)=e(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}

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