Fórmulas recursivas de progressões aritméticas

Aprenda a encontrar fórmulas recursivas para progressões aritméticas. Por exemplo, encontre a fórmula recursiva de 3, 5, 7,...
Antes de fazer esta lição, certifique-se de que você conhece os fundamentos das fórmulas de progressão aritmética formulas.

Como funcionam as fórmulas recursivas

As fórmulas recursivas nos fornecem duas informações:
  1. O primeiro termo da progressão
  2. A regra do padrão para se chegar a qualquer termo a partir do termo que veio antes
A seguir, apresentamos a fórmula recursiva da progressão 3,5,7,...3, 5, 7,..., juntamente com a interpretação de cada parte.
{a(1)=3o primeiro termo  3eˊa(n)=a(n1)+2some 2 ao termo anterior\begin{cases}a(1) = 3&\leftarrow\gray{\text{o primeiro termo é 3}}\\\\ a(n) = a(n-1)+2&\leftarrow\gray{\text{some 2 ao termo anterior}} \end{cases}
Na fórmula, nn é qualquer número de termo e a(n)a(n) é o n-ésimo termo, Isso significa que a(1)a(1) é o primeiro termo e a(n1)a(n-1) é o termo antes do n-ésimo termo.
Para encontrar o quinto termo, por exemplo, precisamos estender a progressão termo a termo:
a(n)a(n)=a(n1)+2=a(n\!-\!\!1)+2
a(1)a(1)=3=\greenE 3
a(2)a(2)=a(1)+2=a(1)+2=3+2=\greenE 3+2=5=\purpleC5
a(3)a(3)=a(2)+2=a(2)+2=5+2=\purpleC5+2=7=\blueD 7
a(4)a(4)=a(3)+2=a(3)+2=7+2=\blueD 7+2=9=\goldD9
a(5)a(5)=a(4)+2=a(4)+2=9+2=\goldD9+2=11=11
Que legal! Esta fórmula nos dá a mesma progressão descrita por 3,5,7,...3,5,7,...

Teste seu conhecimento

1) Encontre b(4)b(4) na progressão dada por {b(1)=5b(n)=b(n1)+9\begin{cases}b(1)=-5\\\\ b(n)=b(n-1)+9 \end{cases}
b(4)=b(4)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 66
  • uma fração própria simplificada, como 3/53/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/47/4
  • um número misto, como 1 3/41\ 3/4
  • um número decimal exato, como 0,750{,}75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}

O significado desta fórmula pode ser verbalizado da seguinte maneira:
O primeiro termo é 5-5 e qualquer outro termo é o termo anterior mais 99.
Para encontrar b(4)b(4), precisamos estender a progressão termo a termo:
b(n)b(n)=b(n1)+9=b(n-1)+9
b(1)b(1)=5=\greenE{-5}
b(2)b(2)=b(1)+9=b(1)+9=5+9=\greenE{-5}+9=4=\purpleC4
b(3)b(3)=b(2)+9=b(2)+9=4+9=\purpleC4+9=13=\blueD{13}
b(4)b(4)=b(3)+9=b(3)+9=13+9=\blueD{13}+9=22=22
Portanto, b(4)=22b(4)=22.

Como escrever fórmulas recursivas

Imagine que queremos escrever a fórmula recursiva da progressão aritmética 5,8,11,...5, 8, 11,...
As duas partes da fórmula devem fornecer as seguintes informações:
  • O primeiro termo ((que é 5)\greenE 5)
  • A regra para obter qualquer termo a partir do termo anterior ((que é "somar 3\maroonC{3}"))
Portanto, a fórmula recursiva deve ficar assim:
{c(1)=5c(n)=c(n1)+3\begin{cases}c(1)=\greenE 5\\\\ c(n)=c(n-1)\maroonC{+3} \end{cases}

Teste seu conhecimento

2) Qual é a fórmula recursiva da progressão 12,7,2,...12, 7, 2,... ?
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

As duas partes da fórmula devem fornecer as seguintes informações:
  • O primeiro termo ((que é 12)\greenE{12})
  • A regra para obter qualquer termo a partir do termo anterior ((que é "subtrair 5\maroonC{5}"))
Portanto, a fórmula recursiva deve ficar assim:
{d(1)=12d(n)=d(n1)5\begin{cases}d(1)=\greenE{12}\\\\ d(n)=d(n-1)\maroonC{-5} \end{cases}
3) Complete os valores que faltam na fórmula recursiva da progressão 2,8,14,..2,8,14,...
{e(1)=Ae(n)=e(n1)+B\begin{cases}e(1)=A\\\\ e(n)=e(n-1)+B \end{cases}
A=A=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 66
  • uma fração própria simplificada, como 3/53/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/47/4
  • um número misto, como 1 3/41\ 3/4
  • um número decimal exato, como 0,750{,}75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
B=B=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 66
  • uma fração própria simplificada, como 3/53/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/47/4
  • um número misto, como 1 3/41\ 3/4
  • um número decimal exato, como 0,750{,}75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}

As duas partes da fórmula devem fornecer as seguintes informações:
  • O primeiro termo ((que é 2)\greenE{2})
  • A regra para obter qualquer termo a partir do termo anterior ((que é "somar 6\maroonC{6}"))
Portanto, a fórmula recursiva deve ficar assim:
{e(1)=2e(n)=e(n1)+6\begin{cases}e(1)=\greenE{2}\\\\ e(n)=e(n-1)\maroonC{+6} \end{cases}
Em conclusão, A=2A=2 e B=6B=6.
4) Complete os valores que faltam na fórmula recursiva da progressão 1,4,7,...-1,-4,-7,....
{f(1)=Af(n)=f(n1)+B\begin{cases}f(1)=A\\\\ f(n)=f(n-1)+B \end{cases}
A=A=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 66
  • uma fração própria simplificada, como 3/53/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/47/4
  • um número misto, como 1 3/41\ 3/4
  • um número decimal exato, como 0,750{,}75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
B=B=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 66
  • uma fração própria simplificada, como 3/53/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/47/4
  • um número misto, como 1 3/41\ 3/4
  • um número decimal exato, como 0,750{,}75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}

As duas partes da fórmula devem fornecer as seguintes informações:
  • O primeiro termo ((que é 1)\greenE{-1})
  • A regra para obter qualquer termo a partir do termo anterior ((que é "subtrair 3\maroonC{3}"))
Portanto, a fórmula recursiva deve ficar assim:
{f(1)=1f(n)=f(n1)3\begin{cases}f(1)=\greenE{-1}\\\\ f(n)=f(n-1)\maroonC{-3} \end{cases}
Em conclusão, A=1A=-1 e B=3B=-3.

Pergunta para reflexão

5) A seguir, apresentamos a forma geral da fórmula recursiva de progressões aritméticas.
{g(1)=Ag(n)=g(n1)+B\begin{cases}g(1)=A\\\\ g(n)=g(n-1)+B \end{cases}
Qual é a diferença comum da progressão?
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

O significado desta fórmula pode ser verbalizado da seguinte maneira:
  • O primeiro termo é AA
  • Para obter qualquer termo a partir do termo anterior, some BB.
Aquilo que somamos a cada termo para obter o termo que vem a seguir é a diferença comum, então, a diferença comum é simplesmente BB.
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