Fórmulas recursivas de progressões aritméticas

Aprenda a encontrar fórmulas recursivas para progressões aritméticas. Por exemplo, encontre a fórmula recursiva de 3, 5, 7,...
Antes de fazer esta lição, certifique-se de que você conhece os fundamentos das fórmulas de progressão aritmética formulas.

Como funcionam as fórmulas recursivas

As fórmulas recursivas nos fornecem duas informações:
  1. O primeiro termo da progressão
  2. A regra do padrão para se chegar a qualquer termo a partir do termo que veio antes
A seguir, apresentamos a fórmula recursiva da progressão 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point, juntamente com a interpretação de cada parte.
{a(1)=3o primeiro termo é 3a(n)=a(n1)+2some 2 ao termo anterior\begin{cases}a(1) = 3&\leftarrow\gray{\text{o primeiro termo é 3}}\\\\ a(n) = a(n-1)+2&\leftarrow\gray{\text{some 2 ao termo anterior}} \end{cases}
Na fórmula, n é qualquer número de termo e a, left parenthesis, n, right parenthesis é o n-ésimo termo, Isso significa que a, left parenthesis, 1, right parenthesis é o primeiro termo e a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis é o termo antes do n-ésimo termo.
Para encontrar o quinto termo, por exemplo, precisamos estender a progressão termo a termo:
a, left parenthesis, n, right parenthesisequals, a, left parenthesis, n, space, minus, space, space, 1, right parenthesis, plus, 2
a, left parenthesis, 1, right parenthesisequals, start color greenE, 3, end color greenE
a, left parenthesis, 2, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, 2equals, start color greenE, 3, end color greenE, plus, 2equals, start color purpleC, 5, end color purpleC
a, left parenthesis, 3, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, 2equals, start color purpleC, 5, end color purpleC, plus, 2equals, start color blueD, 7, end color blueD
a, left parenthesis, 4, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, 2equals, start color blueD, 7, end color blueD, plus, 2equals, start color goldD, 9, end color goldD
a, left parenthesis, 5, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, 2equals, start color goldD, 9, end color goldD, plus, 2equals, 11
Que legal! Esta fórmula nos dá a mesma progressão descrita por 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point

Teste seu conhecimento

1) Encontre b, left parenthesis, 4, right parenthesis na progressão dada por {b(1)=5b(n)=b(n1)+9\begin{cases}b(1)=-5\\\\ b(n)=b(n-1)+9 \end{cases}
b, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i

O significado desta fórmula pode ser verbalizado da seguinte maneira:
O primeiro termo é minus, 5 e qualquer outro termo é o termo anterior mais 9.
Para encontrar b, left parenthesis, 4, right parenthesis, precisamos estender a progressão termo a termo:
b, left parenthesis, n, right parenthesisequals, b, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, plus, 9
b, left parenthesis, 1, right parenthesisequals, start color greenE, minus, 5, end color greenE
b, left parenthesis, 2, right parenthesisequals, b, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, 9equals, start color greenE, minus, 5, end color greenE, plus, 9equals, start color purpleC, 4, end color purpleC
b, left parenthesis, 3, right parenthesisequals, b, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, 9equals, start color purpleC, 4, end color purpleC, plus, 9equals, start color blueD, 13, end color blueD
b, left parenthesis, 4, right parenthesisequals, b, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, 9equals, start color blueD, 13, end color blueD, plus, 9equals, 22
Portanto, b, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, 22.

Como escrever fórmulas recursivas

Imagine que queremos escrever a fórmula recursiva da progressão aritmética 5, comma, 8, comma, 11, comma, point, point, point
As duas partes da fórmula devem fornecer as seguintes informações:
  • O primeiro termo left parenthesisque é start color greenE, 5, end color greenE, right parenthesis
  • A regra para obter qualquer termo a partir do termo anterior left parenthesisque é "somar start color maroonC, 3, end color maroonC"right parenthesis
Portanto, a fórmula recursiva deve ficar assim:
{c(1)=5c(n)=c(n1)+3\begin{cases}c(1)=\greenE 5\\\\ c(n)=c(n-1)\maroonC{+3} \end{cases}

Teste seu conhecimento

2) Qual é a fórmula recursiva da progressão 12, comma, 7, comma, 2, comma, point, point, point ?
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

As duas partes da fórmula devem fornecer as seguintes informações:
  • O primeiro termo left parenthesisque é start color greenE, 12, end color greenE, right parenthesis
  • A regra para obter qualquer termo a partir do termo anterior left parenthesisque é "subtrair start color maroonC, 5, end color maroonC"right parenthesis
Portanto, a fórmula recursiva deve ficar assim:
{d(1)=12d(n)=d(n1)5\begin{cases}d(1)=\greenE{12}\\\\ d(n)=d(n-1)\maroonC{-5} \end{cases}
3) Complete os valores que faltam na fórmula recursiva da progressão 2, comma, 8, comma, 14, comma, point, point.
{e(1)=Ae(n)=e(n1)+B\begin{cases}e(1)=A\\\\ e(n)=e(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i
B, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i

As duas partes da fórmula devem fornecer as seguintes informações:
  • O primeiro termo left parenthesisque é start color greenE, 2, end color greenE, right parenthesis
  • A regra para obter qualquer termo a partir do termo anterior left parenthesisque é "somar start color maroonC, 6, end color maroonC"right parenthesis
Portanto, a fórmula recursiva deve ficar assim:
{e(1)=2e(n)=e(n1)+6\begin{cases}e(1)=\greenE{2}\\\\ e(n)=e(n-1)\maroonC{+6} \end{cases}
Em conclusão, A, equals, 2 e B, equals, 6.
4) Complete os valores que faltam na fórmula recursiva da progressão minus, 1, comma, minus, 4, comma, minus, 7, comma, point, point, point.
{f(1)=Af(n)=f(n1)+B\begin{cases}f(1)=A\\\\ f(n)=f(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i
B, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i

As duas partes da fórmula devem fornecer as seguintes informações:
  • O primeiro termo left parenthesisque é start color greenE, minus, 1, end color greenE, right parenthesis
  • A regra para obter qualquer termo a partir do termo anterior left parenthesisque é "subtrair start color maroonC, 3, end color maroonC"right parenthesis
Portanto, a fórmula recursiva deve ficar assim:
{f(1)=1f(n)=f(n1)3\begin{cases}f(1)=\greenE{-1}\\\\ f(n)=f(n-1)\maroonC{-3} \end{cases}
Em conclusão, A, equals, minus, 1 e B, equals, minus, 3.

Pergunta para reflexão

5) A seguir, apresentamos a forma geral da fórmula recursiva de progressões aritméticas.
{g(1)=Ag(n)=g(n1)+B\begin{cases}g(1)=A\\\\ g(n)=g(n-1)+B \end{cases}
Qual é a diferença comum da progressão?
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

O significado desta fórmula pode ser verbalizado da seguinte maneira:
  • O primeiro termo é A
  • Para obter qualquer termo a partir do termo anterior, some B.
Aquilo que somamos a cada termo para obter o termo que vem a seguir é a diferença comum, então, a diferença comum é simplesmente B.