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Fórmulas explícitas e recursivas para progressões geométricas

Transcrição de vídeo

RKA - Nós temos aqui uma sequência e nós vamos verificar se ela pode ser definida através de uma fórmula e através de uma maneira recursiva também, uma definição recursiva para essa sequência. Primeiramente, vamos determinar se tem algum padrão nessa sequência. A sequência aqui é a seguinte. O primeiro termo é o 168. O segundo termo é 84. O terceiro termo é o 42. O quarto termo é o 21 e assim por diante. É uma sequência infinita, de infinitos termos. G(n), "n" sendo a posição que o termo ocupa na sequência, será que a gente consegue determinar essa G(n) através de uma fórmula? Aqui é muito simples, olhe só. Eu vou fazer da seguinte maneira. G(n), aquela sequência ali, eu posso fazê-la da seguinte forma. Perceba uma coisa comigo primeiro. Uma maneira de sair desse primeiro termo e chegar nesse segundo termo seria subtrair 84. Outra maneira de verificar isso, é multiplicar por ½. Ou seja, o segundo termo é a metade do primeiro termo. Da mesma forma, o terceiro termo é a metade, ou seja eu multiplico por ½, é a metade do segundo termo e assim por diante. O quarto termo, eu multiplico por ½ e cada novo termo na sequência é a metade do anterior. Portanto, aqui a gente já consegue definir uma fórmula para essa sequência. Vai ser, por exemplo, o primeiro termo 168 multiplicado por ½, que vai estar elevado a quanto? Esse ½ vai estar elevado a n -1. Porque n - 1? Perceba que o primeiro termo da sequência é o próprio 168. Então, se eu colocar no lugar do "n" 1 para calcular G(1), eu teria ½ elevado a 0. E qualquer número elevado a 0, com a exceção do próprio 0, dá igual a 1. Então, eu teria 168 × 1, ou seja, o próprio 168. O primeiro termo seria o 168. O segundo termo, no lugar do "n" eu colocaria o 2, então teria ½ elevado a 1, porque 2 -1 daria o expoente 1 aqui e eu teria 168 × ½ que é exatamente o que acontece e assim por diante. Então, essa fórmula me define essa sequência. É uma progressão geométrica e a razão da progressão geométrica nesse caso é ½. Uma outra maneira de escrever aquela fórmula seria colocar G(n) = 168 ÷ 2 elevado a n - 1. É a mesma coisa. Isso são coisas equivalentes. A mesmíssima coisa. Uma outra maneira de reescrever essa maneira como escrevi aqui em cima. E agora tem uma outra forma também de fazer isso daqui. Perceba que eu posso escrever de maneira algébrica, vou fazer algumas manipulações algébricas. Eu posso escrever a G(n) como sendo igual a 168, e agora vou fazer uma outra cor. Isso daqui é a mesma coisa que o quê? É a mesma coisa que ½, ou seja, vou multiplicar por ½, que está elevado a "n" × ½ que está elevado a -1. E quando multiplicar essas potências aqui de bases iguais, eu conservo a base, que é ½, e somo os expoentes. Então vou ter "n" - 1. "n" + (-1) vai dar o "n" - 1, então é a mesma coisa. Só que esse ½ elevado a -1, isso no final das contas é igual a dois. É só inverter, só calcular o recíproco daquela fração que eu tenho aqui um expoente positivo. Então, é a mesma coisa que 2. Logo, quando eu multiplicar isso, eu vou ter que essa G(n) vai ser igual a 336, que é o dobro de 168, então 336 que vai multiplicar ainda por ½ elevado a "n". Você percebe que isso é a mesma coisa que isto e aquilo, então fiz apenas umas manipulações algébricas para determinar isso. Repara que se você substituir o "n" por 1, eu teria 336 × ½ e a metade de 336 é 168, o primeiro termo 168. E vai dar certo para todos os outros termos. Aqui então eu defini essa sequência, essa progressão geométrica através de fórmulas, de equações. Mas eu posso também definir de maneira recursiva. Perceba aqui comigo que eu posso fazer G(n) = 168 se o meu "n" for igual a 1, e se o meu "n" for maior do que 1, maior do que 1 e inteiro, meu "n" precisa ser um, dois, três. Não tem nenhum número decimal, nenhuma fração, nada disso. Então, se o "n" for maior do que 1 e for um número inteiro, isso vai ser a mesma coisa que a metade da G(n) -1, concorda comigo? Ou seja, quando eu calcular a G(2), eu vou pegar 2 - 1, a G(2 - 1) que é a mesma coisa que a G(1), que vai ser o 168 e calcular sua metade. Então, dessa forma eu teria essa mesma sequência. Portanto, essa maneira aqui, a maneira recursiva de definir aquela sequência e essa forma aqui seria uma forma explícita de definir também a mesma progressão geométrica, essa mesma sequência numérica aqui. Até o próximo vídeo!