Familiarize-se com progressões em geral, e aprenda o que são progressões aritméticas.
Antes de estudar esta lição, certifique-se de que você sabe como somar e subtrair números negativos.

O que é uma progressão?

Veja algumas listas de números:
  • 3, 5, 7 ...
  • 21, 16, 11, 6 ...
  • 1, 2, 4, 8 ...
Listas de números ordenados como essas são chamadas de progressões. Cada número em uma progressão é chamado de termo.
3, comma5, comma7, comma, point, point, point
\uparrow\uparrow\uparrow
1, start superscript, 0, end superscript, space, t, e, r, m, o2, start superscript, 0, end superscript, space, t, e, r, m, o3, start superscript, 0, end superscript, space, t, e, r, m, o
Em geral, as progressões têm padrões que nos permitem prever qual será o termo seguinte.
Por exemplo, na progressão 3, 5, 7 ..., sempre somamos dois para chegarmos ao próximo termo:
+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}
3, comma5, comma7, comma, point, point, point
Os três pontinhos que aparecem no final da progressão indicam que ela pode ser estendida, mesmo que só vejamos alguns termos.
Podemos fazer isso usando o padrão.
Por exemplo, o quarto termo da progressão deve ser o número nove, o quinto termo deve ser o número onze etc.
+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}
3, comma5, comma7, comma9, comma11, comma, point, point, point

Teste seu conhecimento

Estenda as progressões de acordo com seus padrões.
Problem 1
Padrão: some cinco ao termo anterior.
+5\maroonC{+5\,\Large\curvearrowright}+5\maroonC{+5\,\Large\curvearrowright}+5\maroonC{+5\,\Large\curvearrowright}
3, comma8, comma13, comma
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i
comma, point, point, point

Problem 2
Padrão: subtraia três do termo anterior.
3\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}3\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}3\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}
20, comma17, comma14, comma
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i
comma, point, point, point

Problem 3
Padrão: multiplique o termo anterior por dois.
×2\maroonC{\times 2\,\Large\curvearrowright}×2\maroonC{\times 2\,\Large\curvearrowright}×2\maroonC{\times 2\,\Large\curvearrowright}
3, comma6, comma12, comma
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i
comma, point, point, point

+5\maroonC{+5\,\Large\curvearrowright}+5\maroonC{+5\,\Large\curvearrowright}+5\maroonC{+5\,\Large\curvearrowright}
3, comma8, comma13, commastart color greenD, 18, end color greenD, comma, point, point, point
3\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}3\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}3\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}
20, comma17, comma14, commastart color greenD, 11, end color greenD, comma, point, point, point
×2\maroonC{\times 2\,\Large\curvearrowright}×2\maroonC{\times 2\,\Large\curvearrowright}×2\maroonC{\times 2\,\Large\curvearrowright}
3, comma6, comma12, commastart color greenD, 24, end color greenD, comma, point, point, point
Problem 4
Faça a correspondência entre cada progressão e seu padrão.
Progressão
Padrão
  • 4, comma, 11, comma, 18, comma, 25, comma, point, point, point
  • 40, comma, 20, comma, 10, comma, 5, comma, point, point, point
  • 100, comma, 96, comma, 92, comma, 88, comma, point, point, point
  • 4, comma, 12, comma, 36, point, 108, comma, point, point, point
  • Multiplicação do termo anterior por três.
  • Divisão do termo anterior por dois.
  • Adição de sete ao termo anterior.
  • Subtração de quatro do termo anterior

A seguir, apresentamos as progressões com seus padrões indicados:
+7\maroonC{+7\,\Large\curvearrowright}+7\maroonC{+7\,\Large\curvearrowright}+7\maroonC{+7\,\Large\curvearrowright}
4, comma11, comma18, comma25, comma, point, point, point
÷2\maroonC{\div 2\,\Large\curvearrowright}÷2\maroonC{\div 2\,\Large\curvearrowright}÷2\maroonC{\div 2\,\Large\curvearrowright}
40, comma20, comma10, comma5, comma, point, point, point
4\maroonC{-4\,\Large\curvearrowright}4\maroonC{-4\,\Large\curvearrowright}4\maroonC{-4\,\Large\curvearrowright}
100, comma96, comma92, comma88, comma, point, point, point
×3\maroonC{\times 3\,\Large\curvearrowright}×3\maroonC{\times 3\,\Large\curvearrowright}×3\maroonC{\times 3\,\Large\curvearrowright}
4, comma12, comma36, comma108, comma, point, point, point

O que é uma progressão aritmética?

Para muitos dos exemplos acima, o padrão envolve soma ou subtração de um número a cada termo para se obter o termo seguinte. Progressões com esses padrões são chamadas de progressões aritméticas.
Em uma progressão aritmética, a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma.
Por exemplo, a progressão 3, 5, 7, 9 ... é aritmética porque a diferença entre os termos consecutivos é sempre dois.
+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}
3, comma5, comma7, comma9, comma, point, point, point
A progressão 21, 16, 11, 6 ... também é aritmética porque a diferença entre os termos consecutivos é sempre cinco.
5\footnotesize\maroonC{-5\,\Large\curvearrowright}5\footnotesize\maroonC{-5\,\Large\curvearrowright}5\footnotesize\maroonC{-5\,\Large\curvearrowright}
21, comma16, comma11, comma6, comma, point, point, point
A progressão 1, 2, 4, 8 ... não é aritmética porque a diferença entre os termos consecutivos não é a mesma.
+1\footnotesize\maroonC{+1\,\Large\curvearrowright}+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+4\footnotesize\maroonC{+4\,\Large\curvearrowright}
1, comma2, comma4, comma8, comma, point, point, point

Teste seu conhecimento

Problem 5
Selecione todas as progressões aritméticas.
Escolha todas as respostas aplicáveis:
Escolha todas as respostas aplicáveis:

A seguir, temos as progressões com suas diferenças consecutivas:
+4\maroonC{+4\,\Large\curvearrowright}+4\maroonC{+4\,\Large\curvearrowright}+4\maroonC{+4\,\Large\curvearrowright}
11, comma15, comma19, comma23, comma, point, point, point
A diferença entre termos consecutivos da progressão acima é sempre quatro, então esta é uma progressão aritmética.
+1\maroonC{+1\,\Large\curvearrowright}+2\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+3\maroonC{+3\,\Large\curvearrowright}
0, comma1, comma3, comma6, comma, point, point, point
A diferença entre termos consecutivos da progressão acima está mudando, portanto, esta não é uma progressão aritmética.
+6\maroonC{+6\,\Large\curvearrowright}+18\maroonC{+18\,\Large\curvearrowright}+54\maroonC{+54\,\Large\curvearrowright}
3, comma9, comma27, comma81, comma, point, point, point
A diferença entre termos consecutivos da progressão acima está mudando, portanto, esta não é uma progressão aritmética.
9\maroonC{-9\,\Large\curvearrowright}9\maroonC{-9\,\Large\curvearrowright}9\maroonC{-9\,\Large\curvearrowright}
29, comma20, comma11, comma2, comma, point, point, point
A diferença entre termos consecutivos da sequência acima é sempre nove negativo, portanto, esta é uma progressão aritmética.
Problem 6
O primeiro termo de uma progressão é o número um. Qual dos seguintes padrões faria a progressão ser aritmética?
Escolha todas as respostas aplicáveis:
Escolha todas as respostas aplicáveis:

O significado do padrão "adição do número quatro ao termo anterior" é que a diferença entre os termos consecutivos é sempre quatro. Por isso, este padrão descreve uma progressão aritmética.
+4\footnotesize\maroonC{+4\,\Large\curvearrowright}+4\footnotesize\maroonC{+4\,\Large\curvearrowright}+4\footnotesize\maroonC{+4\,\Large\curvearrowright}
1, comma5, comma9, comma13, comma, point, point, point
De forma semelhante, o padrão "subtração de quatro do termo anterior" descreve uma progressão aritmética na qual a diferença entre termos consecutivos é sempre quatro negativo.
4\footnotesize\maroonC{-4\,\Large\curvearrowright}4\footnotesize\maroonC{-4\,\Large\curvearrowright}4\footnotesize\maroonC{-4\,\Large\curvearrowright}
1, commaminus, 3, commaminus, 7, commaminus, 11, comma, point, point, point
Ao contrário, o padrão "multiplicação do termo anterior por quatro" não resulta em uma progressão na qual a diferença entre termos consecutivos é constante.
+3\footnotesize\maroonC{+3\,\Large\curvearrowright}+12\footnotesize\maroonC{+12\,\Large\curvearrowright}+48\footnotesize\maroonC{+48\,\Large\curvearrowright}
1, comma4, comma16, comma64, comma, point, point, point
Da mesma forma, o padrão "divisão do termo anterior por quatro" não resulta em uma progressão aritmética.
34\footnotesize\maroonC{-\dfrac{3}{4}\,\Large\curvearrowright}316\footnotesize\maroonC{-\dfrac{3}{16}\,\Large\curvearrowright}364\footnotesize\maroonC{-\dfrac{3}{64}\,\Large\curvearrowright}
1, commastart fraction, 1, divided by, 4, end fraction, commastart fraction, 1, divided by, 16, end fraction, commastart fraction, 1, divided by, 64, end fraction, comma, point, point, point

A diferença comum

A diferença comum de uma progressão aritmética é a diferença constante entre termos consecutivos.
Por exemplo, a diferença comum de 10, 21, 32, 43 ... é 11:
+11\footnotesize\maroonC{+11\,\Large\curvearrowright}+11\footnotesize\maroonC{+11\,\Large\curvearrowright}+11\footnotesize\maroonC{+11\,\Large\curvearrowright}
10, comma21, comma32, comma43, comma, point, point, point
A diferença comum de –2, –5, –8, –11 ... é três negativo:
3\footnotesize\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}3\footnotesize\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}3\footnotesize\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}
minus, 2, commaminus, 5, commaminus, 8, commaminus, 11, comma, point, point, point

Teste seu conhecimento

Problem 7
Qual é a diferença comum de 2, 8, 14, 20 ...?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i

Vamos encontrar as diferenças entre os termos consecutivos:
+6\footnotesize\maroonC{+6\,\Large\curvearrowright}+6\footnotesize\maroonC{+6\,\Large\curvearrowright}+6\footnotesize\maroonC{+6\,\Large\curvearrowright}
2, comma8, comma14, comma20, comma, point, point, point
Vemos que a diferença comum é seis.
Problem 8
Qual é a diferença comum de 5, comma, 2, comma, minus, 1, comma, minus, 4, point, point, point?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i

Vamos encontrar as diferenças entre os termos consecutivos:
3\footnotesize\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}3\footnotesize\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}3\footnotesize\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}
5, comma2, commaminus, 1, commaminus, 4, comma, point, point, point
Vemos que a diferença comum é três negativo.
Problem 9
Qual é a diferença comum de 1, comma, space, 1, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, comma, 1, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, space, 2, comma, point, point, point?
  • Sua resposta deve ser
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4

Vamos encontrar as diferenças entre os termos consecutivos:
+13\footnotesize\maroonC{+\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}+13\footnotesize\maroonC{+\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}+13\footnotesize\maroonC{+\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}
11, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, comma1, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma2, comma, point, point, point
Vemos que a diferença comum é um terço.
Reflection question
Qual alternativa deve ser verdadeira sobre uma progressão aritmética cuja diferença comum é negativa?
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

Uma diferença comum negativa significa que temos que subtrair algo de qualquer termo para obter o termo seguinte. Em outras palavras, o termo está sempre diminuindo.
Não é necessário que todos os termos da progressão sejam positivos ou negativos. A seguir, mostramos progressões que têm tanto termos positivos quanto negativos, mas todas têm diferenças negativas.
1\footnotesize\maroonC{-1\,\Large\curvearrowright}1\footnotesize\maroonC{-1\,\Large\curvearrowright}1\footnotesize\maroonC{-1\,\Large\curvearrowright}
2, comma1, comma0, commaminus, 1, comma, point, point, point
5\footnotesize\maroonC{-5\,\Large\curvearrowright}5\footnotesize\maroonC{-5\,\Large\curvearrowright}5\footnotesize\maroonC{-5\,\Large\curvearrowright}
7, comma2, commaminus, 3, commaminus, 8, comma, point, point, point
8\footnotesize\maroonC{-8\,\Large\curvearrowright}8\footnotesize\maroonC{-8\,\Large\curvearrowright}8\footnotesize\maroonC{-8\,\Large\curvearrowright}
3, commaminus, 5, commaminus, 13, commaminus, 21, comma, point, point, point
Observe como todas as progressões acima têm termos que estão sempre diminuindo.
Challenge problem
O primeiro termo de uma progressão aritmética é 10 e sua diferença comum é sete negativo.
Qual é o quarto termo da progressão?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i

Sabemos que o primeiro termo é 10, e que a diferença comum é sete. Com essa informação podemos expandir a progressão até chegarmos ao quarto termo:
7\footnotesize\maroonC{-7\,\Large\curvearrowright}7\footnotesize\maroonC{-7\,\Large\curvearrowright}7\footnotesize\maroonC{-7\,\Large\curvearrowright}
10, comma3, commaminus, 4, commaminus, 11, comma, point, point, point
O quarto termo da progressão é -11.

O que vem a seguir?

Saiba mais sobre as fórmulas de progressões aritméticas, que nos dão as informações de que precisamos para encontrar qualquer termo de uma progressão.