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Introdução às progressões geométricas

Transcrição de vídeo

neste vídeo pretendo apresentar a você a definição de progressão geométrica progressão geométrica é uma seqüência de números mas não é uma sequência de números quaisquer compadre por exemplo com a seqüência 123456 seqüência de números uma progressão podemos dizer mas não é uma progressão geométrica o que precisamos para definir uma progressão geométrica é um termo inicial e saber que a partir do segundo termo nós obtemos multiplicando anterior por um número fixo chamado razão deixe me explicar o que eu quero dizer vamos admitir que eu tenho termo inicial o número dois e eu vou multiplicá lo por 32 vezes 366 vezes 3 18 dezoito vezes 3 54 e assim continuamos multiplicando sempre pelo mesmo número chamado razão nesta progressão geométrica o primeiro termo vamos indicar por a 1 a 1 é igual a 2 que o valor do primeiro termo e de um número para o próximo de um termo para o próximo multiplico sempre pela razão que neste caso a 3 indicamos pela letra que a razão que igual a 3 é o que chamamos de razão da progressão geométrica e comumente a progressão geométrica indicado simplesmente pelas letras pg bem você pode ter uma outra situação em que é necessário escrever a progressão geométrica dado que o primeiro termo seja 90 e que a razão seja menos um terço vamos escrever alguns termos dessa progressão o primeiro termo então é 90 o segundo termo tem que ser o 90 multiplicado pela razão que é menos um terço 90 vezes menos um terço da um número negativo 3090 vez um terço 30 o próximo tema vai ser menos 30 vezes menos um terço resultado então positivo 30 vezes um terço 10 positivo o próximo termo dez vezes menos um terço são menos 10 terços já na forma irredutível o próximo termo menos 10 terços vezes menos um terço negativo vezes negativo vai dar positivo 10 nonos e assim sucessivamente é isso que quer dizer quando alguém fala sobre uma sequência geométrica ou progressão geométrica estes dois são exemplos de sequências chamadas progressões geométricas mas são sequências 26 1854 que 90 menos 30 10 - dois terços 10 9º c t center e você pode já ter ouvido pode vir ouvir falar do termo série série é a soma dos termos de uma certa sequência vamos estudar em particular a série geométrica série geométrica que é a soma dos termos de uma progressão geométrica por exemplo olhando para esta progressão geométrica para esta sequência série associada a ela para estes termos escrito seria o 90 mas o 30 negativo mais o 10 mais ou menos 10 terços e mais o 10 nonos a palavra série está associada à soma de uma sequência sob os termos de uma sequência é importante que fique bem clara a diferença entre série e sequência isso normalmente gera alguma confusão principalmente à primeira vista vamos voltar um pouco então a idéia da sequência chamada progressão geométrica analisando uma certa situação uma menina chamada anne salta de band anp ea cada vez que ela chega lá embaixo a corda se estica ela volta pra cima torna cair acorda cística novamente na primeira esticada acorda chega a se esticar 36 metros e nas próximas ela vai sempre existe quando 60% do que ela vê este caso na vez anterior na queda anterior organizando na forma de uma sequência nós teríamos pensando no quanto à corda esticar cada vez o primeiro termo seria então 36 metros nós podemos organizar na forma de uma tabela a queda em várias quedas vamos chamar assim e o quanto a corda se estirou vão chamar de estiramento pode ser científicamente o nome não mais adequado mas aqui para ter uma idéia vamos considerar que quando ela chega lá embaixo essa seria a queda número zero e um estiramento nesse caso seria de 36 metros estiramento aqui em metros e nas próximas quedas o estiramento vai ser 60% do estiramento anterior temos então o primeiro termo que 36 metros de uma sequência e a razão desta sequência é 0,6 lembre se de que 60% pode ser inscrito como 0,6 que multiplica o termo anterior 60% do termo anterior ou seja quando ela estava lá embaixo o estiramento era de 36 metros voltou cair novamente vamos considerar esta a queda número 1 o estiramento vai ser de 0,6 60% vezes o termo anterior 36 metros depois voltou queda seguinte esticou a corda quanto 60% 0,6 fez 0,60 por cento de o que eu tinha no termo anterior que era já 0,6 vezes 36 isto tudo aqui era o termo anterior no terceiro momento ela vai esticar 0,6 de tudo isso que estava no útero anterior 0,61 vezes 0,6 vezes o 36 nós podemos generalizar essa ideia por meio de uma fórmula como nós escreveríamos o estiramento na enésima a queda lembrando que considerando o início como a queda número 10 cada número zero estiramento inicial 36 metros depois só vamos introduzindo o fator 0,6 em cada termo multiplicando o anterior ora na queda número um você tem 0,6 e levado a um peso 36 na queda número dois é 0,6 vezes 0,6 seria então o 0,6 elevada ao quadrado vezes o 36 na queda número 3 teríamos um 0,6 e levado a terceira potência vezes o 36 seguindo assim você percebe que na queda o número 10 nós vamos ter 0,6 e levado a 10 vezes o 36 então o estiramento na enésima queda na queda número n vai ser 0,6 e levado a ene vezes o estiramento inicial que era de 36 metros é mais comum escrevermos 36 vezes o 0,6 elevada do iene este é o termo geral desta sequência que é geométrica porque a cada termo nós multiplicamos o anterior por um número fixo chamado razão que é o 0,6 neste caso observe agora que esse nós precisássemos saber qual seria o estiramento na queda número 12 vamos então fazer os cálculos a partir é claro desta fórmula do termo geral desta progressão para obter então o estiramento o estiramento na queda número 12 número 12 ora nós vamos precisar desta fórmula trocando o n 12 se teríamos então 36 metros vezes o 0,6 e levado a 12 claro que vamos precisar do auxílio de uma calculadora deixe me abrir uma aqui muito bem digitando então 36 vezes ou 0,6 e levado a 12 nós teríamos 0,00 65 metros de estiramento 0,00 65 metros de estiramento na queda número 12 observe que era esperado imaginando a situação do band anp que a cada estirado da corda a nova estirado é menor que a anterior houve energia que se dissipou veja que começamos com 36 metros de estiramento e agora nós temos menos do que um centímetro de estiramento é uma redução considerável e é justamente o que esta progressão mostra um termo é 60% do anterior então ele é menor que o anterior é importante neste momento observar também que a escolha dos índices que eu fiz aqui me ajudaram a ter uma relação com a fórmula de maneira mais fácil quero dizer o seguinte queda 0 eu poderia ter começado pela queda número 1 eu escolhi começar pela queda 0 porque aqui o 0,6 apareceria elevado a 0 na 10 vírgula seis elevada 1 na 206 elevada 2 e terá na queda n 0,6 e levado a ene vezes o 36 isso facilita bastante a escrita da forma interpretação seu uso e os cálculos que vem na sequência você poderia escolher de outras maneiras por exemplo se eu falasse que aqui era queda 1 aqui era a 2a que era queda 3 queda 4 etc terá na fórmula eu teria que colocar o 36 vezes ou 0,6 e levado à eni - um porque na queda 4 0,6 aparece três vezes na queda 3 ele apareceria só duas vezes uma unidade a menos então ficaria seria possível fazer as contas seria correto usar essa ideia entretanto facilita-se uma escolha for propositadamente mais adequada à nossa situação eu espero que você tenha aproveitado bastante que isso tenha sido interessante para você até o próximo vídeo