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Equação fundamental da reta e equação reduzida da reta

Transcrição de vídeo

RKA - Digamos que nós tenhamos aqui uma equação da reta e nós saibamos que quando x é igual a 4, o y vai ser igual a 9. E aí, nós plotamos esse número aqui no gráfico, até esqueci de colocar aqui o eixo do x. Eu plotei esse ponto no eixo x e no eixo y. Eu plotei esse ponto aqui, então, no plano cartesiano, está bem aqui. Nós também sabemos que quando o x é igual a 6, o y é igual a 1 e esse ponto também está plotado aqui no gráfico. E essa reta verde aqui, representa todos os pontos que pertencem a essa equação linear. E o que eu quero fazer nesse vídeo aqui é tentar descobrir a equação dessa reta de duas formas diferentes, na forma da equação fundamental da reta e na forma da equação reduzida da reta, você consegue fazer? Como sempre, pause o vídeo, tente você fazer, que eu vou dar agora a resposta. Vamos começar fazendo aqui a equação fundamental da reta. Vou escrever: Equação fundamental. Na equação fundamental da reta, é muito fácil descobrir qual é a equação, se nós soubermos um ponto dessa reta e também qual é a inclinação da reta, o seu coeficiente angular. Como nós temos aqui 2 pontos, eu preciso apenas de 1 e também saber qual é a inclinação, basta que eu calcule agora qual é a inclinação. Como eu tenho 2 pontos aqui, eu consigo facilmente determinar qual é a inclinação dessa reta, qual é o coeficiente angular. Você tem que lembrar aqui que a inclinação de uma reta, a inclinação aqui, é igual ao delta y, a variação do eixo do y, dividido pela variação no eixo do x. E a variação no y, nessa reta aqui, você percebe desse ponto para esse, vai ser o quê? Vai ser 1 - 9. 1 - 9, pois aqui você sabe muito bem que é o ponto 6 para x, 1 para y. Nós partimos aqui, quando y é igual a 9 e finalizamos quando y é igual a 1. E, portanto,1 - 9 vai ser igual aqui a -8, o que faz todo o sentido, porque a gente está saindo, aqui, desse ponto e indo para um ponto que está 8 unidades abaixo. Então é -8. Logo, aqui, vou ter 1 - 9 dividido por, e -8, que é o resultado dessa subtração, dividido por alguma coisa, que vai ser a variação no eixo do x. Qual vai ser a variação no eixo do x? Eu saí daqui desse ponto e vim para esse, ou seja, a variação no eixo do x aqui é essa. Nós terminamos aqui, o nosso ponto final vai ser o 6 e nós começamos ali no ponto x igual a 4. Então, quanto vai dar isso daqui? 6 - 4 vai dar igual a 2. Você pode inclusive perceber isso visualmente. A nossa variação no y aqui, vindo daqui de cima aqui para baixo foi de quanto? O delta y é igual a -8, eu tive que andar para baixo 8 unidades para chegar até este ponto, até a altura desse ponto aqui. E qual foi a nossa variação do eixo do x? Sai daqui e vim para cá. A variação do eixo do x, o nosso delta x, é igual a 2 positivo, saímos do 4 e fomos até o 6. Portanto, a nossa inclinação da reta vai ser quanto? -8 dividido por 2, que vai dar -4. E agora que nós sabemos a inclinação da reta e sabemos um dos pontos, na verdade, sabemos dois pontos aqui, mas basta um, eu gosto de fazer isso daqui, para escrever na equação fundamental da reta, a partir da definição, eu vou pegar a definição disso e vou aplicar esse conhecimento aqui da inclinação da reta em um dos pontos para determinar então qual é a equação da reta a partir da equação fundamental da reta. Ou seja, concentrando-me aqui nesse ponto, o que eu vou ter? Eu vou ter, que da definição da equação fundamental da reta é o seguinte, eu vou ter um y arbitrário qualquer, menos aquele y ali que é o 9, então y - 9, dividido pelo valor do x, menos esse x aqui, que a gente está considerando, que é o 4. E aí, quando eu fizer essa divisão, o que eu vou ter aqui? Eu vou ter o coeficiente angular entre esse valor arbitrário do y e do x, em relação a esse outro ponto aqui na reta. E esse valor é sempre um valor constante e como nós sabemos aqui, acabamos de calcular, é igual a -4. Você percebe que ainda não está na forma clássica aqui da equação fundamental da reta, mas, para isso, basta a gente multiplicar em ambos os lados da equação por x - 4. Aí eu vou ter o seguinte, eu vou ter do lado esquerdo y - 9, y - 9, igual à nossa inclinação que é -4, que multiplica por x - 4, eu multipliquei ambos os lados, aqui ele vai aparecer multiplicando. A gente vai ter isso aqui. Escrita dessa maneira aqui, está na forma clássica na equação fundamental da reta. E aqui, você percebe que se eu fizer ambos os lados igual a zero, eu consigo determinar exatamente esses pontos que eu calculei aqui. Eu vou conseguir o x igual a 4 e o y igual a 9. E a nossa inclinação aqui é igual ao -4. Agora, é o seguinte, será que a partir dessa equação aqui, da equação fundamental da reta, eu consigo expressar essa mesma reta aqui, através da equação reduzida da reta? Só para a gente lembrar, a equação reduzida da reta é y igual a "m", que é um coeficiente angular, multiplicado por x + b. Essa aqui é a forma da equação reduzida da reta. Portanto, "m" aqui é o nosso coeficiente angular e o "b" é o ponto onde a reta vai cortar o eixo do y. E para a gente chegar nesse formato aqui da equação reduzida, basta simplificar essa equação fundamental da reta. Primeiro, eu vou aplicar a distributiva desse -4 com o x - 4 aqui de dentro. Então, eu vou ter o seguinte aqui, eu vou ter y - 9, estou repetindo ali, não vou fazer nada por aqui primeiro e agora basta eu aplicar essa distributiva aqui, mudei a cor só para a gente não se perder nas contas. É o seguinte, -4 vezes x vai dar -4x e -4 vezes -4, menos com menos dá mais, e 4 vezes 4 vai dar 16. E agora, para isolarmos o y, ali do lado esquerdo, para chegarmos nessa forma aqui, eu preciso somar 9 em ambos os lados da igualdade. Somando o 9 aqui e aqui nós vamos ter o seguinte: aqui, do lado esquerdo, nós vamos ter apenas o "y", porque os 9 vão se cancelar e aqui do outro lado nós vamos ter -4x + 25. Aqui nós temos a mesma equação linear em relação à equação fundamental da reta, porém, escrito na forma reduzida. Apenas nós isolamos o y para determinar a forma da equação reduzida da reta. Aqui nós temos a inclinação da reta novamente, que é igual a -4 e aqui nós temos o valor onde a reta vai cortar o eixo do y, ou seja, quando o nosso x for igual a zero, o "y" aqui vai cancelar, o "y" vai ser igual a 25. Eu não fiz aqui esse plano cartesiano grande o suficiente, mas você percebe que essa reta verde aqui, ela segue, segue, segue, e vai cortar o eixo do y lá em cima quando o y for igual a 25. Portanto, aqui, eu escrevi essa reta aqui na forma da equação fundamental da reta, que está bem aqui, e escrevi aqui também, na forma da equação reduzida, equação reduzida da reta. Espero que tenha sido interessante para você. Até o próximo vídeo!