Aprenda sobre a equação reduzida da reta de duas equações lineares com duas variáveis, e saiba como interpretá-la para calcular o coeficiente angular e a interceptação em y de sua reta.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

O que você vai aprender nessa lição

  • O que é equação reduzida da reta de equações lineares com duas variáveis
  • Como calcular o coeficiente angular e a interceptação em yy de uma reta a partir de sua equação reduzida da reta
  • Como encontrar a equação de uma reta a partir de seu coeficiente angular e de sua interceptação em yy

O que é equação reduzida da reta?

Equação reduzida da reta é uma forma específica de equações lineares. Ela tem a seguinte estrutura geral. Que rufem os tambores...
y=mx+b\Large y=\maroonC{m}x+\greenE{b}
Neste caso, m\maroonC{m} e b\greenE{b} podem ser dois números reais quaisquer. Por exemplo, essas são equações lineares na forma de equação reduzida da reta:
  • y=2x+1y=2x+1
  • y=3x+2,7y=-3x+2{,}7
  • y=10100xy=10-100x
Por outro lado, essas equações lineares não estão na forma reduzida da reta:
  • 2x+3y=52x+3y=5
  • y3=2(x1)y-3=2(x-1)
  • x=4y7x=4y-7
A equação reduzida da reta é a forma mais popular das equações lineares. Vamos nos aprofundar um pouco para saber por quê.

Os coeficientes na equação reduzida da reta

Além de ser clara e simples, a vantagem da forma de equação reduzida da reta é que ela mostra duas características principais da reta que ela representa:
  • O coeficiente angular é m\maroonC{m}.
  • A coordenada yy da interceptação em yy é b\greenE{b}. Em outras palavras, a interceptação em yy da reta está em (0,b)(0,\greenE{b}).
Por exemplo, a reta y=2x+1y=\maroonC{2}x\greenE{+1} tem o coeficiente angular igual a 2\maroonC{2} e a interceptação em yy em (0,1)(0,\greenE{1}):
Na verdade, o fato de esta forma dar o coeficiente angular e a interceptação em yy de forma resumida é o motivo pelo qual ela é chamada equação reduzida da reta!

Teste seu conhecimento

Por que isso dá certo?

Você deve estar se perguntando como é que, na forma de equação reduzida da reta, m\maroonC{m} dá o coeficiente angular e b\greenE{b} dá a interceptação em yy.
Será que é algum tipo de mágica? Bem, com certeza não se trata de mágica. Na matemática, sempre há uma explicação. Nesta seção, vamos analisar esta propriedade usando a equação y=2x+1y=\maroonC{2}x+\greenE{1} como exemplo.

Por que b\greenE{b} dá a interceptação em yy?

Na interceptação em yy, o valor de xx é sempre zero. Então, se queremos encontrar a interceptação em yy de y=2x+1y=\maroonC{2}x+\greenE{1}, temos que substituir x=0x=0 e resolver para encontrar o valor de yy.
y=2x+1=20+1Substituindo x=0=0+1=1\begin{aligned} y&=\maroonC{2}x+\greenE{1} \\\\ &=\maroonC{2}\cdot 0+\greenE{1}&\gray{\text{Substituindo }x=0} \\\\ &=0+\greenE{1} \\\\ &=\greenE{1} \end{aligned}
Vemos que na interceptação em yy, 2x\maroonC{2}x se torna zero e, sendo assim, ficamos com y=1y=\greenE{1}.

Por que m\maroonC{m} dá o coeficiente angular?

Vamos refrescar nossa memória sobre o que é coeficiente angular, exatamente. Coeficiente angular é a razão da variação em yy sobre a variação em xx entre quaisquer dois pontos da reta.
Coeficiente angular=Variaço em a˜yVariaço em a˜x\text{Coeficiente angular}=\dfrac{\text{Variação em }y}{\text{Variação em }x}
Se pegarmos dois pontos onde a variação de xx for exatamente 11 unidade, então, a variação de yy será igual ao próprio coeficiente angular.
Coeficiente angular=Variaço de a˜y1=Variaço de a˜y\text{Coeficiente angular}=\dfrac{\text{Variação de }y}{1}=\text{Variação de }y
Agora vamos ver o que acontece com os valores de yy na equação y=2x+1y=\maroonC{2}x+\greenE{1} à medida que os valores de xx aumentam constantemente em 11 unidade.
xxyy
001+02\greenE{1}+0\cdot\maroonC{2}=1= \greenE{1}
111+12\greenE{1}+1\cdot\maroonC{2}=1+2=\greenE{1}+\maroonC{2}
221+22\greenE{1}+2\cdot\maroonC{2}=1+2+2=\greenE{1}+\maroonC{2}+\maroonC{2}
331+32\greenE{1}+3\cdot\maroonC{2}=1+2+2+2=\greenE{1}+\maroonC{2}+\maroonC{2}+\maroonC{2}
441+42\greenE{1}+4\cdot\maroonC{2}=1+2+2+2+2=\greenE{1}+\maroonC{2}+\maroonC{2}+\maroonC{2}+\maroonC{2}
Vemos que sempre que xx aumenta em 11 unidade, yy diminui em 2\maroonC{2} unidades. Isso porque xx determina o múltiplo de 2\maroonC{2} no cálculo de yy.
Conforme descrito acima, a variação em yy que corresponde a xx aumentar em 11 unidade é igual ao coeficiente angular da reta. Por este motivo, o coeficiente angular é 2\maroonC{2}.
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