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Exemplo resolvido: domínio e imagem de funções lineares definidas por partes

Transcrição de vídeo

RKA - Aqui nós temos uma função definida por partes que é a função g(x) que é toda ela uma função linear. Tudo isso aqui são retas e cada reta está definida em um determinado intervalo. Neste vídeo, nós vamos pensar um pouco sobre o domínio e depois sobre a imagem dessa função aqui. Tudo isso é uma revisão, vamos colocar que o domínio nada mais é que o conjunto de valores do x, quando você joga o x aqui na função, você tem um determinado valor g, que é a função g(x). Então, são todos os valores possíveis para o x aqui. Daí, eu tenho que saber em que intervalos essa função está definida para esses valores de x. Então, o domínio aqui vai ser o seguinte, primeira coisa que eu percebo é que se o x for menor do que o -6, se for -6 em diante aqui para baixo, essa função não está definida. O -6, aqui, o x não pode nem assumir esse valor, ele vai chegar a 5,99999 mas não vai chegar no -6, porque o x aqui tem que ser maior que -6. O valor, no caso, do -6 para baixo não está definido em nenhum desses 3 intervalos. Eu não consigo falar: quando o x for igual a -6, faça isso e aquilo com esse valor. Não consigo dizer aqui nessa função. Então, o menor valor possível aqui vai ser esse x maior do que -6. Esse valor aqui vai ser o meu limite inferior, vai definir o domínio. Então, vou escrever assim, eu vou dizer que o x pertence ao conjunto dos números reais, tal que o -6 vai ser menor do que o x, esse vai ser o meu limite inferior aqui, o x não pode nunca encostar lá no -6, pode chegar bem perto mas nunca encostar e ele vai ser aqui menor ou igual a 6. Eu tenho que perceber aqui agora, se eu estou preenchido todos os buracos aí até chegar no 6. Aqui, por exemplo, x é menor ou igual a -3, aqui está igual a -3. E, aqui, ele já está maior que -3, preencheu o buraco, tranquilo. Aqui, ele vai ser menor do que 4 e aqui vai ser maior ou igual a 4, perceba que o 4 também está nesse intervalo, então consigo preencher certinho do -6 até o 6 aqui. O x é menor ou igual a 6, vai ter que ser um valor entre -6 e o 6, incluindo esse 6 aqui, mas não incluindo o -6, senão a função vai estar indefinida. Ela não está definida para o ponto x igual -6. Então, o x tem que ser menor ou igual a 6 para pegar esse limite superior. Então, esse daqui vai ser o nosso domínio. E eu poderia escrever isso daqui de uma maneira menos matemática, da seguinte maneira, posso colocar aqui: o x pode ser qualquer número real, tal que o nosso x, ali, vai ter que estar está entre o -6 mas sem incluir o -6, e ele vai ter que ser menor ou igual a 6 aqui, essa é uma maneira menos matemática de escrever essa sentença que eu escrevi aqui em linguagem matemática de teoria dos conjuntos. Agora, vamos pensar sobre a imagem dessa função. A imagem é todos os valores ali que aquela função pode assumir, ou seja, vou jogar um valor do x ali e ela vai me retornar um valor g, que vai ser o valor da função que vai ser a minha imagem, vai fazer parte da imagem aqui. Então, para esses três casos aqui, eu vou ver em quais valores aqui a minha g(x) vai se situar. Então, para cá, por exemplo, a minha g(x) vai estar entre quais valores aqui? Aqui para baixo, a minha g(x) vai estar entre quais valores? E aqui, a minha g(x) vai estar entre quais valores? Para esse primeiro intervalo aqui de cima, que eu vou considerar essa função x + 7, qual vai ser o valor mínimo para essa a minha função aqui? O x não pode ser igual a - 6, mas eu vou usar o -6 aqui só para efeito de cálculo, então, eu vou colocar -6 + 7 que vai dar igual a 1, só que você percebe que a função não vai dar igual a 1, ela vai ser aqui maior do que esse 1. Porque o x tem que ser maior do que esse -6 aqui, então, eu vou colocar aqui o 1, que vai ter que ser menor que a função g(x), exatamente por esse sinal de desigualdade não conter o símbolo de igual, ele apenas é um sinal de menor. Então, aqui também vai continuar esse mesmo sinal por causa disso. E o maior valor? O maior valor vai ser quando o x for igual a -3. E você percebe que aqui pode ser igual, porque aqui o x é menor ou igual a -3. Então, quando eu colocar o -3 aqui, vai dar igual a 4. Agora, cuidado! Para essa função aqui debaixo, quando o x está entre o - 3 e o 4, repare que o x tem o sinal de menos na frente dele. Então, aqui, vai mudar um pouquinho a lógica, aqui muda um pouquinho a lógica. Aqui, acontece o seguinte, essa função vai atingir o seu valor mínimo quando x atingir aqui o seu valor máximo, é exatamente por esse sinal de menos aqui na frente. Então, quando isso vai acontecer? O valor mínimo dessa função vai ser quando x for, ele não pode ser igual a 4 aqui, mas eu vou usar o 4 só para fins de cálculo. Então, quando x for 4 aqui, vou ter 1 - 4 que vai dar -3. Aqui vai ter que ser o -3. E aqui, a função vai atingir o seu valor máximo quando x for o seu valor mínimo, ou seja, o -3 aqui. Quando aqui o x for - 3, aqui vai ficar menos -3, vai dar 3 positivo, e 3 + 1 vai dar 4. Está claro para você então? A lógica aqui mudou exatamente por esse sinal de menos na frente do x. E, novamente, eu não posso usar o x = -3 e nem x = 4. Eu coloquei o -3 e o 4 aqui nessa forma dessa função, aqui, só para a gente calcular o seu limite mínimo e o seu limite máximo. Aqui, o x no caso está se aproximando do - 3 e do 4, então aqui, a função vai se aproximar do - 3 e do 4, mas nunca vai ser -3 e 4 por esse sinal de desigualdade aqui não estar com o sinal de igual. Não é difícil compreender. Agora perceba daqui debaixo, perceba que aqui embaixo o x pode ser 4 também e pode ser 6 também. Ele pode assumir esses valores porque eu tenho um sinal de desigualdade mas também tenho um sinal de igualdade. O x é maior ou igual a 4 e ele é menor ou igual a 6, está claro? E, nesse caso aqui, como a nossa função é positiva, é crescente, porque o 2x aqui é um valor positivo, tem um mais aqui na frente, apenas de não estar escrito ali. Então, essa função vai atingir o seu valor mínimo quando x for mínimo, ou seja, quando x for igual a 4. Nesse caso, quando eu colocar o 4 aqui vai dar 8, 2 vezes 4 dá 8, 8 - 11 vai dar -3. E ela vai atingir o seu valor máximo quando x for o máximo, ou seja, quando for igual a 6, logo quando eu colocar aqui, 2 vezes 6 dá 12, 12 - 11 dá igual a 1. Então, posso escrever aqui a imagem como sendo o quê? Como sendo os valores de g(x) que vão pertencer aos números reais tal que, agora eu vou analisar em que intervalo vai ter a imagem. Aqui você percebe que -3 não vai fazer parte da imagem, mas aqui ele faz. Então, o g(x) tem que ser maior ou igual a -3. Então, eu vou colocar aqui -3 maior ou igual que a g(x) e agora vou ver se tem algum buraco entre esse valor mínimo e o valor máximo, que no caso parece que eu estou suspeitando que seja o 4. Aqui, você percebe que a função vai do -3 até o 1, ela pode assumir esses valores do -3 até o 1. E, aqui, você percebe que ela vai do 1 mas sem incluir o 1, só que já está incluído aqui, então ela vai do 1 até o 4, incluindo o valor 4. Então, está toda definida aí, ela pode assumir esses valores que vão do -3 até o 4, então g(x) aqui pode ser menor ou igual a 4, essa vai ser a imagem da função. Então, posso ler assim, g(x) pode ser qualquer número real tal que o -3 é menor ou igual a g(x) que é menor ou igual a 4. Ou seja, pode assumir valores que vão do -3, incluindo o -3, até o 4, incluindo 4. Até o próximo vídeo!