Análise de gráficos de funções exponenciais: valor inicial negativo

RKA - Temos aqui um gráfico representando uma função e eu já vou dizendo a você que é o gráfico de uma função exponencial. E o nosso objetivo aqui é descobrir para que valor de x, o f(x) fica igual a: -1/25. Você poderia tentar procurar diretamente no gráfico a resposta para esta pergunta, procurando aqui no eixo do y do f(x), onde está o -1 sobre 25, que deve ser algo bem aqui próximo da intersecção com o eixo x e tentar achar o valor de x correspondente, mas é algo que visualmente parece bem difícil. Olhando aqui, não sabemos se isso vai ser 3, vai ser 4, algum valor entre eles, ou mesmo maior do que 4. Então, ao invés de procurar visualmente esta resposta, vamos obter uma expressão que define f(x). Então, com as informações que temos aqui, podemos resolver e achar o valor de x procurado. Já que sabemos que se trata de uma função exponencial, sabemos que ela tem a forma f(x) igual o valor inicial "a" multiplicando a base "r" elevada ao expoente x. Sabemos que o valor de "a" é o valor que a função assume quando o x vale zero. De fato, quando o x é zero, r elevado a zero resulta em 1, então, o f(x) resulta em "a". E o que é o valor do f(0)? Quando o x é zero, nós vemos que o gráfico cruza o eixo das ordenadas, o eixo y. Portanto, o valor do f(0) é -25, de forma que o valor de "a" é -25. Agora, para descobrir a base da potência, temos mais de uma forma. Uma delas é saber que a base é a razão entre o valor da função em dois valores diferentes de x, separados de uma unidade. O que eu quero dizer com isto? Por exemplo, o valor do f(1) dividido pelo valor do f(0), esta razão, resulta justamente na base da potência. Do mesmo modo f(2) dividido pelo f(1), também vai resultar em "r". Para a nossa sorte, já sabemos que o f(0) é -25 e facilmente também vemos ali no gráfico, que o f(1) quando o x vale 1, o f(1) é -5. Então, a base é simplesmente o resultado de -5 sobre -25. E, simplificando, o valor de "r" fica igual a 1 quinto. Negativo dividido por negativo resulta em positivo. Agora podemos então escrever a expressão que define f(x). f(x) é igual o valor de "a" que é -25 vezes 1 quinto elevado ao expoente x. Vamos agora voltar a nossa questão. Qual é o valor de x que faz o f(x) resultar em -1 sobre 25? Como vamos fazer isso? É só igualar esta expressão a -1/25, ou seja, -1/25 é o resultado desta conta que envolve x, e qual será o x para isso? Temos aqui uma equação exponencial. Qual é o valor de x que satisfaz esta igualdade? Queremos descobrir o x, resolver para x, então, vamos começar dividindo os dois lados por -25. Para cancelar esse -25 do lado esquerdo, vamos ficar então com 1 quinto elevado a x, ao dividir por -25, do lado direito teremos -1 sobre 25 dividido por -25, negativo dividido por negativo resulta positivo e 1 sobre 25 dividido por 25, vou multiplicar o denominador 25 pelo outro 25, que resulta em 1 sobre 625. Então, 1 quinto elevado a x, tem que resultar 1 sobre 625. Eliminando os parênteses aqui, sabemos que 1 quinto elevado a x é igual a 1 elevado a x sobre 5 elevado a x, e isso tem que ser igual a 1 sobre 625. 1 elevado a x é simplesmente 1, então, eu posso apagar esse x daqui, que não está fazendo nenhuma diferença neste cálculo. Em outras palavras, 5 elevado a x, tem que ter resultado 625. Aqui então, 5 elevado a x tem que ser igual a 625. Um método bem razoável para tentar achar o valor de x é pensar nas potências de base 5. Organizando aqui, 5 elevado à primeira potência dá 5. 5² resulta 25, 5 elevado à terceira é 125, estou sempre multiplicando por 5, não é mesmo? 5 elevado à quarta então, 125 vezes 5, resulta em 625. Se 5⁴ é igual a 625, voltando para a nossa equação, x só pode ser 4, já que quando o x é 4, temos a equação ali satisfeita, podemos voltar à nossa função e afirmar que o f(4), ou seja, quando x vale 4 resulta em -1 sobre 25. Você pode de fato verificar isto aqui nesta expressão. 1 quinto elevado a quarta potência resulta em 1 sobre 625, que multiplicado por -25 vai resultar no -1 sobre 25, que era a condição imposta no início do nosso problema. Então, de fato se o x é 4, nós temos o que foi pedido. Até o próximo vídeo!