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Análise de gráficos de funções exponenciais

Dado o gráfico de uma função exponencial, encontramos a fórmula da função e um valor que está fora do gráfico.

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Transcrição de vídeo

RKA - Temos aqui o gráfico de uma função exponencial e essa função é indicada por m(x). E o que queremos aqui é obter o valor de m(6). Qual é o resultado de m quando o x é 6? Como sempre, sugiro que você pause o vídeo e tente descobrir sozinho. Como eu disse no começo, esta é uma função exponencial, então m(x) tem que ter a forma m(x) igual "a" vezes r elevado a x. Sendo "a" o valor inicial e "r" a base da potência. Para descobrir o valor inicial que é o "a", basta ver qual é o valor da função quando o x é 0, ou seja, o "a" é igual m(0). Basta olhar no gráfico e vamos ver que quando o x é 0, o m será 9, que é justamente o valor onde o gráfico intercepta o eixo y. Agora vamos então descobrir a base "r". Eu vou tentar analisar aqui algumas informações montando uma tabela que vai nos ajudar bastante. Vou colocar aqui: x, aqui m(x). Sabemos que se o x é 0, o m(0) é 9, pelo gráfico também dá para ver que se o x for 1, o m(1) vai ser 3. Então, quando aumentamos o x em uma unidade, o que é que acontece com m(x)? Por quanto nós multiplicamos o m(x)? Ao ir de 9 para 3, nós estamos multiplicando por 1 terço e isso é o que define a base da nossa potência na função exponencial. Se eu quisesse aqui saber qual é o valor do m(2) bastaria multiplicar o 3 por 1 terço, e portanto, o m(2) seria igual a 1. Podemos ver no gráfico que de fato m(2) é igual a 1. A base "r" da potência é 1 terço. Então, m(x) vai ser igual ao nosso valor inicial que era o "a", que já sabemos que é 9, multiplicando, "r", que é 1 terço, elevado a x. Desta forma, conseguimos determinar a expressão que define a função m(x). Mas essa não é a resposta para aquilo que tinha sido pedido no início. Naquele momento, foi pedido para calcularmos m(6), ou seja, qual é o valor da função quando x vale 6? Então, vou escrever aqui novamente, m(6). O m(6) é igual a: vou repetir a expressão evidentemente substituindo o x por 6. m(6) vai ser igual a 9 vezes 1 terço elevado à 6ª potência. Estou usando o 6 no lugar do x. Vamos agora fazer as contas, 9 vezes 1 terço elevado à 6ª potência, 1 elevado a 6 é 1 sobre o 3⁶. Para facilitar as contas, eu posso verificar que o 9 é a mesma coisa que 3² e trabalhar com potências de mesma base para simplificar os cálculos. Essa expressão então vai ficar 3² sobre 3⁶. Simplificando aqui, eu posso subtrair os expoentes ou dividir numerador e denominador por 3² e de qualquer forma vamos ter 1 sobre 3⁴. Lembrando que isso seria 3 elevado a -4, é a mesma coisa. Mas, quanto dá 3⁴? Isso dá 81. Finalizando então, temos aqui 1 sobre 81, ou seja, m(6), o valor da função quando x vale 6 é 1 sobre 81. E nós poderemos chegar a este resultado também se continuássemos aqui na nossa tabela. m(3) vai ser 1 vezes 1 terço, resulta em 1 terço. m(4) vai ser 1 terço vezes 1 terço, resulta em 1 nono. m(5) vai ser 1 sobre 27 e então, m(6) vai ser 1 sobre 81. Até o próximo vídeo!