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Como escrever funções exponenciais a partir de tabelas

Tanto as equações lineares quanto as exponenciais representam relações entre duas variáveis. Contudo, a forma como as variáveis estão relacionadas umas com as outras em cada tipo de equação é diferente. Uma equação linear pode ser pensada como a representação da adição repetida sobre um valor inicial, enquanto a equação exponencial pode ser pensada como a representação da multiplicação repetida sobre um valor inicial. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA - "f" é uma função linear e "g" é uma função exponencial na forma "g(x) = a ‧ r ͯ ", onde "(r > 0)". A tabela a seguir lista os resultados de "f" e "g" para dois valores consecutivos de "x". Escreva as fórmulas das funções. Então, eu tenho os valores de "x," os valores para "f(x)", relativos a "x", e os valores de "g(x)". Então, aqui eu tenho que colocar a fórmula para "f(x)"; e aqui a fórmula para "g(x)". E eu fiz uma cópia desse problema bem aqui. Vamos pensar primeiro na "f(x)". Eu sei que a "f(x)" deve ser algo do tipo "m ‧ x + b". E por que isso acontece? Isso acontece porque a "f" é uma função do tipo linear, e a gente já estudou um pouco sobre isso. E, para encontrar a "f", a gente só vai utilizar dois pontos. Esses dois pontos aqui. Utilizar o "0" e o "1" também facilita as nossas contas, embora sejam os únicos dados que nós tenhamos. Então, eu posso dizer que "f(0) = m ‧ 0 + b"; só que "m" vezes "0" é "0", então isso aqui é igual a "b", Só que o "f(0)" é 10, então "b = 10". Então, já sei aqui o valor de "b"; "b" é igual a 10. E, agora, só falta calcular o "m". E como eu encontro o valor de "m"? "m" será igual à Δy/Δx. Lembrando que "y" é mesma coisa que "f(x)"; então, na verdade, vou até escrever aqui, Δf/Δx. Então, o que eu vou calcular aqui é a variação da função e a variação do ponto "x". E nós vamos calcular essa variação aqui. Nós terminamos com 1 e nós começamos com 0, e o "f(1)" aqui é 6. Então, nós terminamos com 6 e começamos com 10. O "f(0)" é 10. "f(1)" é igual a 6. "f(0)" é igual a 10. E fazendo essas contas, nós teremos "-4/1", que é igual a "-4". Então, "x" cresce 1, e "f(x)" decresce 4. Então, nós podemos escrever "f(x)" como "-4x + 10". E essa aqui, então, é a nossa "f(x)". Então, agora, nós vamos calcular qual é a função "g". Bom, a função "g", a gente já sabe que é desse tipo aqui, "a ‧ r ͯ " , e, aí, então, nós teremos que calcular duas coisas: o "a" e o "r". Então, vamos escrever a função aqui, g(x)... (bom, deixa eu escrever isso aqui, aqui em baixo)... então, "g(x) = a ‧ r ͯ "; e, quando nós utilizarmos esses valores, nós iremos calcular o valor da "g(x)" nesses pontos. Então, a primeira preocupação que se tem é calcular o "g(0)", porque nós teríamos "0" aqui em cima, e aí teríamos talvez um "0⁰", o que seria indeterminado, mas "r" não pode ser "0" porque aqui está bem explícito: "r" é maior do que "0". Então, vamos calcular aqui o "g(0)". Então, "g(0) = a ‧ rº" só que "r" elevado a "0" é a mesma coisa que 1. Então, isso é "a" vezes 1, ou simplesmente "a". Só que "g(0)" é 16, portanto, "a = 16". E o que eu sei, agora, é que a "g(x) = a ‧ r ͯ ", só que "a" é 16; então isso será "16 ‧ r ͯ ". E, agora, como nós vamos calcular esse "r"? Bom, nós podemos utilizar um outro ponto, e ele nos dá esse ponto aqui. O ponto 1 tem como resultado 12. Eu sei que o "g(1)" é 12. Quando nós calculamos o "g(1)", nós sabemos que o resultado será 12. Então, isso aqui vai ser: 16 vezes "r"... "x", agora, é 1... "r" elevado a 1, e isso aqui vai ser igual a 12, ou podemos ter simplesmente: "16r = 12". Bom, e agora o que nós vamos fazer é dividir ambos os lados por 16. Então nós teremos "r = 12/16", que simplificando por 4, nós temos: 12 dividido por 4 dá 3, e 16 dividido por 4 dá 4. Então, eu posso dizer que a minha função "g(x)" é igual a "16 ‧ (3/4) ͯ " (vamos só colocar um parênteses aqui, porque esse "x" é o expoente de toda a fração e não só do 3). E, por fim, podemos dizer que "g(x) = 16 ‧ (3/4)ˣ". E a nossa "f(x)" = -4x + 10". E agora, vamos lá verificar a nossa resposta. Então, vamos verificar a nossa resposta aqui. Então, "f(x)" vai ser "-4x + 10" (você pode ver como é que a fórmula ficou aqui em cima), e "g(x)" vai ser "16 ‧ (3/4)ˣ". É bom só a gente dar uma conferida, porque, talvez, a memória falhe um pouquinho. Então, vamos dar uma olhada lá; ver se está correto. "f(x) = -4x + 10", e "g(x) = 16 ‧ (3/4) ͯ ". Bom, parece estar correto; então, vamos agora verificar a nossa resposta. E ok. Estamos certos. Espero que tenham gostado e até um próximo vídeo.