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Álgebra intermediária (parte 1)
Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 12
Lição 6: Funções exponenciais com base em tabelas e gráficos- Como escrever funções exponenciais
- Como escrever funções exponenciais a partir de tabelas
- Funções exponenciais com base em tabelas e gráficos
- Como escrever funções exponenciais a partir de gráficos
- Análise de tabelas de funções exponenciais
- Análise de gráficos de funções exponenciais
- Análise de gráficos de funções exponenciais: valor inicial negativo
- Problema de modelagem com funções exponenciais básicas
- Conexão entre contextos e gráficos exponenciais
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Como escrever funções exponenciais a partir de gráficos
Dado o gráfico de uma reta, podemos escrever uma função linear na forma y=mx+b por meio da identificação do coeficiente angular (m) e da interceptação em y (b) no gráfico.
Dado o gráfico de uma curva exponencial, podemos escrever uma função exponencial na forma y=ab^x por meio da identificação da razão comum (b) e da interceptação em y (a) no gráfico. Versão original criada por Sal Khan.
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- ele escreveu g(1) = 9 mas na verdade seria g(-1) = 9, ou eu estou enganado? 5:23(3 votos)
Transcrição de vídeo
RKA13MC - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos fazer um exercício
a respeito de funções. Para isso, temos o seguinte aqui: o gráfico da função linear f(x) = mx + b e a função exponencial g(x) = a ‧ rˣ, onde esse "r" é maior do que zero. E ambos os gráficos passam
pelos pontos (-1, 9) e (1, 1). Ambos os gráficos
estão representados abaixo. Escreva a lei de definição
de cada uma das funções. Eu sugiro que você pause o vídeo
e tente responder isso sozinho. Vamos lá, então. Aqui nós temos uma função linear,
ou função afim, que é decrescente. E, aqui, a função exponencial. Note que ela vai decrescendo à medida
que o "x" vai ficando cada vez maior. O exercício também fala
que o "r" é maior do que zero. Essa é uma boa dica
de que o "r" está entre zero e 1. Vamos utilizar os dois pontos
de intersecção entre as duas funções para descobrir a lei de definição
de cada uma delas. Primeiro, vamos para a função linear. Sabemos que ela tem
a forma de f(x) = mx + "b" ou ax + "b". Tanto faz, como você queira escrever. Podemos descobrir o "m" e o "b" utilizando esses dois pontos aqui. O "m" é a variação da função, é o que chamamos de coeficiente angular, é a inclinação da reta. E, se você não lembra, esse "m" é igual à variação
do "y" dividida pela variação do "x". Ou seja, a variação do ponto
no eixo "y" e no eixo "x". Analisando esses dois pontos, qual é a nossa variação no "x"? Olhando para este ponto,
note que o "x" é igual a -1 e depois vamos variar aqui para direita,
ficando no 1. Ou seja, para descobrir a variação, pegamos o "x" final, que nesse caso é 1, e subtraímos pelo "x" inicial,
que nesse caso é 1. E 1 - (-1) é igual a 1 + 1,
que é igual a 2. Claro que poderíamos ver
isso aqui no próprio gráfico, né? De -1 até 1, temos uma mudança,
uma variação de duas unidades. E quanto a nossa variação "y"? Bem, começamos aqui no 9
e descemos até chegar ao 1. Ou seja, o "y" perdeu 8 unidades. Uma variação de -8. Ou então podemos pegar o "y" final,
que nesse caso é 1, e subtrair pelo "y" inicial, que é 9, e 1 - 9 é igual a -8. E -8 dividido por 2 é igual a -4. Então já sabemos que a função
tem a forma de f(x) igual a -4x + "b". Note que toda vez que você
aumentar o seu "x" em 1, o seu "y" vai diminuir 4 unidades. Isso faz muito sentido,
porque a variação nesse caso é de -4. E para descobrir o "b", você pode utilizar
qualquer um desses pontos aqui, tá? Mas eu vou utilizar o ponto (1, 1),
que é mais fácil. Então temos que f(1) é
igual a -4 vezes 1 + "b", que é igual a 1. Com isso, vamos ficar com -4 + "b" = 1, e, se somarmos 4 a ambos
os membros dessa igualdade, vamos cancelar o -4 e vamos ficar com "b" = 1 + 4, que é igual a 5. Portanto, f(x) é igual a -4x + 5. Isso faz muito sentido, porque a função linear sempre
toca o "y" no valor de "b". Note que, neste caso, está interceptando "y" aqui no 5. Então essa função faz muito sentido. E olhando para o gráfico, se estamos aqui
e aumentamos uma unidade no "x", com toda a certeza,
vamos diminuir 4 unidades no "y". E 9 menos 4 é igual a 5. Pronto, descobrimos a função linear. Agora precisamos descobrir
a função exponencial. De novo, podemos utilizar
um dos dois pontos para isso. Então, g(-1) vai ser igual a "a" ‧ r⁻¹, que é igual, como vimos aqui, a 9. Então isso é igual a 9. E como o "r" está elevado a -1, podemos reescrever isso
aqui como "a" dividido por "r", que é igual a 9. Ou seja, só invertemos o "r". E se multiplicarmos ambos
os membros dessa igualdade por "r", vamos ter que o "a" é igual a 9r. O ponto ainda não foi suficiente
para descobrir o "a" e o "r", correto? Por isso, vamos utilizar o outro ponto, que é (1, 1). Então, g(1) vai ser igual a "a" ‧ r¹, que é a mesma coisa que "r". E isso tem que ser igual a 1. Podemos utilizar essas duas informações para descobrir os valores de "a" e "r". E uma forma bem rápida de pensar aqui é pegar esse "a" e substituir aqui. E onde tiver "a", vamos colocar 9r. Então, (9r)r = 1. E aí vamos ficar com o 9r² = 1, e, se dividirmos ambos
os membros da igualdade por 9, vamos ficar com r² igual a 1/9. Nessa parte,
você pode extrair a raiz quadrada em ambos os membros da igualdade e, tecnicamente, ficaríamos com "r" igual a mais ou menos
a raiz quadrada de 1/9, correto? Mas o exercício diz
que o "r" é maior do que zero, portanto, ficamos somente
com "r" igual a raiz quadrada de 1/9, e com isso, "r" é igual a 1/3. E se sabemos que o "a" é igual a 9r, então podemos substituir aqui, ficando com "a" igual a 9 vezes 1/3, que é igual a 3. Portanto, a função g(x) é igual a 3 vezes (1/3)ˣ. Pronto, conseguimos determinar a lei
de definição de cada uma das funções. Espero que essa aula
tenha te ajudado. Até a próxima, pessoal!