Como escrever funções exponenciais a partir de gráficos

RKA13MC - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos fazer um exercício a respeito de funções. Para isso, temos o seguinte aqui: o gráfico da função linear f(x) = mx + b e a função exponencial g(x) = a ‧ rˣ, onde esse "r" é maior do que zero. E ambos os gráficos passam pelos pontos (-1, 9) e (1, 1). Ambos os gráficos estão representados abaixo. Escreva a lei de definição de cada uma das funções. Eu sugiro que você pause o vídeo e tente responder isso sozinho. Vamos lá, então. Aqui nós temos uma função linear, ou função afim, que é decrescente. E, aqui, a função exponencial. Note que ela vai decrescendo à medida que o "x" vai ficando cada vez maior. O exercício também fala que o "r" é maior do que zero. Essa é uma boa dica de que o "r" está entre zero e 1. Vamos utilizar os dois pontos de intersecção entre as duas funções para descobrir a lei de definição de cada uma delas. Primeiro, vamos para a função linear. Sabemos que ela tem a forma de f(x) = mx + "b" ou ax + "b". Tanto faz, como você queira escrever. Podemos descobrir o "m" e o "b" utilizando esses dois pontos aqui. O "m" é a variação da função, é o que chamamos de coeficiente angular, é a inclinação da reta. E, se você não lembra, esse "m" é igual à variação do "y" dividida pela variação do "x". Ou seja, a variação do ponto no eixo "y" e no eixo "x". Analisando esses dois pontos, qual é a nossa variação no "x"? Olhando para este ponto, note que o "x" é igual a -1 e depois vamos variar aqui para direita, ficando no 1. Ou seja, para descobrir a variação, pegamos o "x" final, que nesse caso é 1, e subtraímos pelo "x" inicial, que nesse caso é 1. E 1 - (-1) é igual a 1 + 1, que é igual a 2. Claro que poderíamos ver isso aqui no próprio gráfico, né? De -1 até 1, temos uma mudança, uma variação de duas unidades. E quanto a nossa variação "y"? Bem, começamos aqui no 9 e descemos até chegar ao 1. Ou seja, o "y" perdeu 8 unidades. Uma variação de -8. Ou então podemos pegar o "y" final, que nesse caso é 1, e subtrair pelo "y" inicial, que é 9, e 1 - 9 é igual a -8. E -8 dividido por 2 é igual a -4. Então já sabemos que a função tem a forma de f(x) igual a -4x + "b". Note que toda vez que você aumentar o seu "x" em 1, o seu "y" vai diminuir 4 unidades. Isso faz muito sentido, porque a variação nesse caso é de -4. E para descobrir o "b", você pode utilizar qualquer um desses pontos aqui, tá? Mas eu vou utilizar o ponto (1, 1), que é mais fácil. Então temos que f(1) é igual a -4 vezes 1 + "b", que é igual a 1. Com isso, vamos ficar com -4 + "b" = 1, e, se somarmos 4 a ambos os membros dessa igualdade, vamos cancelar o -4 e vamos ficar com "b" = 1 + 4, que é igual a 5. Portanto, f(x) é igual a -4x + 5. Isso faz muito sentido, porque a função linear sempre toca o "y" no valor de "b". Note que, neste caso, está interceptando "y" aqui no 5. Então essa função faz muito sentido. E olhando para o gráfico, se estamos aqui e aumentamos uma unidade no "x", com toda a certeza, vamos diminuir 4 unidades no "y". E 9 menos 4 é igual a 5. Pronto, descobrimos a função linear. Agora precisamos descobrir a função exponencial. De novo, podemos utilizar um dos dois pontos para isso. Então, g(-1) vai ser igual a "a" ‧ r⁻¹, que é igual, como vimos aqui, a 9. Então isso é igual a 9. E como o "r" está elevado a -1, podemos reescrever isso aqui como "a" dividido por "r", que é igual a 9. Ou seja, só invertemos o "r". E se multiplicarmos ambos os membros dessa igualdade por "r", vamos ter que o "a" é igual a 9r. O ponto ainda não foi suficiente para descobrir o "a" e o "r", correto? Por isso, vamos utilizar o outro ponto, que é (1, 1). Então, g(1) vai ser igual a "a" ‧ r¹, que é a mesma coisa que "r". E isso tem que ser igual a 1. Podemos utilizar essas duas informações para descobrir os valores de "a" e "r". E uma forma bem rápida de pensar aqui é pegar esse "a" e substituir aqui. E onde tiver "a", vamos colocar 9r. Então, (9r)r = 1. E aí vamos ficar com o 9r² = 1, e, se dividirmos ambos os membros da igualdade por 9, vamos ficar com r² igual a 1/9. Nessa parte, você pode extrair a raiz quadrada em ambos os membros da igualdade e, tecnicamente, ficaríamos com "r" igual a mais ou menos a raiz quadrada de 1/9, correto? Mas o exercício diz que o "r" é maior do que zero, portanto, ficamos somente com "r" igual a raiz quadrada de 1/9, e com isso, "r" é igual a 1/3. E se sabemos que o "a" é igual a 9r, então podemos substituir aqui, ficando com "a" igual a 9 vezes 1/3, que é igual a 3. Portanto, a função g(x) é igual a 3 vezes (1/3)ˣ. Pronto, conseguimos determinar a lei de definição de cada uma das funções. Espero que essa aula tenha te ajudado. Até a próxima, pessoal!