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Álgebra intermediária (parte 1)
Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 12
Lição 1: Crescimento exponencial versus crescimento linear- Introdução a funções exponenciais
- Crescimento exponencial versus crescimento linear
- Aquecimento: crescimento exponencial versus crescimento linear
- Crescimento exponencial versus crescimento linear
- Modelos exponenciais versus modelos lineares: verbal
- Modelos exponenciais versus modelos lineares: tabela
- Modelos exponenciais versus modelos lineares
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Introdução a funções exponenciais
Uma função exponencial representa a relação entre um valor de entrada e um valor de saída, em que usamos multiplicação repetida por um valor inicial para obter o valor de saída de qualquer valor inserido. As funções exponenciais podem crescer ou diminuir com muita rapidez. As funções exponenciais são geralmente usadas para modelar coisas no mundo real, como populações, materiais radioativos e juros compostos. Criado por Sal Khan e Fundação CK-12.
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- e se houver uma variação nesse número? ex: na primeira semana 10 recebem mas enviam só pra nove e essas nove enviam pra 12, como ficaria?(2 votos)
- A função exponencial tende a ser uma reta, isto deve ter ligação com limites.(1 voto)
- Na versão americana do site existe um recurso bem legal chamado Unit Mastery(Domínio de unidade), poderiam colocar na versão brasileira também. :)(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA - Nesse vídeo, eu quero apresentar
a você a ideia de função exponencial. E eu quero, na verdade, mostrar o quão
rápido essas funções podem crescer. Então, vamos escrever um exemplo de função exponencial aqui, e vamos dizer que nós tenhamos "y = 3ˣ". Nossa variável
independente, "x", é o atual expoente. Portanto, vamos fazer uma tabela aqui para
ver quão rapidamente essas coisas crescem. Talvez, depois, marquemos
isso em um gráfico. Vamos pegar alguns
valores aqui para "x". Vamos começar com "x" é igual a "-4",
e, então, vamos colocar "-3", "-2", "0", "1", "2", "3" e "4", e vamos calcular quais serão os nossos
valores de "y" para cada um desses valores. Agora, aqui, "y" será
"3‾⁴", que é "(1/3)⁴". "(1/3)⁴", "3³" é 27;
e 27 vezes 3 é 81, então, isso será "1/81". Agora,
quando eu tenho "x" é igual a "-3", então, vou ter aqui (deixa eu fazer isso aqui com
uma outra cor porque essa cor é muito difícil de ler)... então, "y" é igual a "3‾³", que é igual
a "(1/3)³", e que por sua vez tem como resultado "1/27". E, aí, nós estamos indo de um número
superpequeno para um número um pouquinho maior. Então, "3‾²" será "1/9", certo?
Que é 1 sobre "3²". E, agora, nós temos "3⁰",
que é igual a apenas 1. Logo, estamos tomando um
valor um pouquinho maior, mas nós veremos
como isso irá explodir. Agora, nós temos "3¹", e isso é igual a 3. E
nós temos "3²", certo? "y" é igual a "3²", que é 9; "3³",
27; "3⁴", 81; e, se nós
colocássemos à 5ª potência, 243. Vamos colocar isso num gráfico somente para ter uma ideia de como é
rápido nós termos uma explosão valores. Deixe-me desenhar meus eixos aqui. Esse vai ser o eixo "x", e,
aqui, eu vou desenhar o eixo "y". Eixo "x" e eixo "y". Deixe-me apenas fazer isso
usando apenas incrementos de 5 unidades, porque eu realmente quero
ter a ideia geral da curva nesse gráfico aqui. Só deixe-me
desenhar isso aqui um pouquinho melhor, de acordo com as
minhas possibilidades. Vamos dizer: isso é "5", "10", "15". Na verdade, eu não conseguirei chegar a 81 dessa maneira. Eu quero chegar a 81. Bem, isso é o suficiente para eu ver que não vai dar. Deixe-me desenhar isso um pouquinho
diferente do que eu desenhei até agora então. Então, deixe-me desenhar
isso aqui embaixo. Talvez você tenha reparado que
todos esses valores serão positivos. Por que serão valores positivos?
Porque eu tenho uma base positiva. Então, deixe-me
desenhar algo como isso, como isso aqui. Ok. Já está bom o suficiente. Portanto, vamos
dizer que eu tenho "10", "20", "30", "40", "50", "60", "70", "80". Então, aqui é o "80", aqui
é o "10", e esse aqui é o "30". Isso dará uma boa aproximação. E vamos
dizer que isso aqui é o "-5", e esse aqui o "+5". Na verdade, deixe-me esticar isso
aqui um pouquinho. Portanto, esse será o "-1", esse será o "-2", "-3", "-4",
e, aqui, nós temos o "1", o "2", o "3" e o "4". Assim, quando "x" é igual a "0",
"y" é igual a 1, certo? "x = 0", "y = 1". E isso deve estar, mais
ou menos, por aqui. Quando "x" é igual a 1, "y" é igual a 3, o que
deve estar, mais ou menos, por aqui assim. Quando "x" é igual
a 2, "y" é igual a 9. Vou colocar por aqui. Quando "x" é igual a 3, "y" é igual a 27;
e, quando "x" é igual a 4, y é igual a 81. "y" é igual a 81! Você vê que isso está
crescendo muito rapidamente! E, se eu colocasse o 5, eu teria 243,
que nem caberia na minha tela! Quando você vai para "-1", nós recebemos o resultado menor e menor.
Então, em "-1", nós temos "1/9". Com certeza, você não deve estar nem vendo isso!
Isso está ficando cada vez mais perto de zero quando essa aproximação é um
número cada vez mais negativo. Ou, eu deveria dizer: são
números negativos menores. Usando "3‾¹·⁰⁰⁰",
"3‾¹·⁰⁰⁰·⁰⁰⁰", nós teremos números mais e mais perto de zero. Na verdade, se aproximando de zero. Logo, se nós vamos para o infinito negativo,
"y" está ficando muito próximo a zero. Nós somos lentos nesse
caminho até o "0", mas, então, boom! Conforme nós começamos
a tomar os números de "x" positivos, isso começa a crescer
de forma gigantesca. E nós podemos aumentar isso aqui conforme aumentamos o valor de "x", em cada incremento de "x". Então, a ideia aqui é apenas mostrar a você
que as funções exponenciais são muito, muito dramáticas. Bem, você pode construir uma função que sempre se expande ainda mais rapidamente do que essa. Por exemplo, você poderia dizer que "y"
é igual a "xˣ", que se expande ainda mais rápido; mas para aqueles que lidam com a
vida cotidiana, esse aqui é um dos mais rápidos. Agora, vamos resolver
alguns problemas reais, que nos dará uma forma a mais de
apreciarmos as funções exponenciais. E vamos dizer que alguém envie uma carta
que contém uma corrente. Então, na semana 1 alguém envia uma corrente
para 10 pessoas, e essa carta diz que você tem que enviar
essa corrente para mais 10 novas pessoas, e, se você não fizer isso, você terá má sorte e seu cabelo irá cair. Você irá se casar com um sapo ou algo assim. Então, todas essas pessoas concordam
e cada uma delas envia isso para mais 10 pessoas na semana seguinte. Logo, na semana 2, eles irão
enviar cada uma das 10 cartas para mais 10 pessoas. Então, 10 cartas para 10 pessoas. Portanto, cada uma daquelas 10 pessoas
originais estão, cada uma delas, enviando a mais 10 pessoas essas cartas. Agora, 100 pessoas
têm essas cartas, certo? Assim, vamos anotar aqui a
quantidade de cartas que foram enviadas: 10 foram enviadas aqui; e,
aqui, 100 cartas foram enviadas. E, então, na semana 3,
o que está acontecendo? Na semana 3, cada uma daquelas 100 pessoas
que têm uma carta enviam, cada uma, 10 cartas. Então, assumindo que todo
mundo enviou as suas correntes, agora, nós teremos 1.000
pessoas recebendo isso; e, daí, o padrão geral aqui é: as pessoas
que receberam isso na semana "n", certo? É sobre a semana "n"
que estamos falando. Então, quantas pessoas terão recebido essa
carta? Na semana "n", nós temos "10ⁿ" pessoas, "10ⁿ" pessoas receberam essa carta. Então, receberam
a carta: "10ⁿ" pessoas. Logo, isso é o número de pessoas
que recebem a carta após "n" semanas. Então, se eu perguntasse a você quantas pessoas receberam essa carta depois da 6ª semana. Na verdade, quantas pessoas receberam as cartas? Bem, quanto é 10 elevado a "6ª" potência? "10⁶" é igual a 1
com mais seis zeros, que é 1 milhão de pessoas. Então, 1 milhão de pessoas receberam
a carta em apenas 6 semanas; e, isso, cada um enviando
apenas 10 cartas. Obviamente, na vida real, a maioria
das pessoas jogaria isso no lixo; assim, você não teria isso
como uma boa estimativa. Mas, se todas as 10 pessoas que você enviou
isso também enviassem para 10 pessoas, e assim por diante, logo na 6ª semana você teria 1 milhão
de pessoas recebendo essas cartas. E, na 9ª semana, você
teria 1 bilhão de pessoas. E, francamente,
na semana seguinte acabariam as pessoas do
mundo para receberem cartas. Espero que vocês tenham gostado
e até o próximo vídeo.