Introdução a funções exponenciais

RKA - Nesse vídeo, eu quero apresentar a você a ideia de função exponencial. E eu quero, na verdade, mostrar o quão rápido essas funções podem crescer. Então, vamos escrever um exemplo de função exponencial aqui, e vamos dizer que nós tenhamos "y = 3ˣ". Nossa variável independente, "x", é o atual expoente. Portanto, vamos fazer uma tabela aqui para ver quão rapidamente essas coisas crescem. Talvez, depois, marquemos isso em um gráfico. Vamos pegar alguns valores aqui para "x". Vamos começar com "x" é igual a "-4", e, então, vamos colocar "-3", "-2", "0", "1", "2", "3" e "4", e vamos calcular quais serão os nossos valores de "y" para cada um desses valores. Agora, aqui, "y" será "3‾⁴", que é "(1/3)⁴". "(1/3)⁴", "3³" é 27; e 27 vezes 3 é 81, então, isso será "1/81". Agora, quando eu tenho "x" é igual a "-3", então, vou ter aqui (deixa eu fazer isso aqui com uma outra cor porque essa cor é muito difícil de ler)... então, "y" é igual a "3‾³", que é igual a "(1/3)³", e que por sua vez tem como resultado "1/27". E, aí, nós estamos indo de um número superpequeno para um número um pouquinho maior. Então, "3‾²" será "1/9", certo? Que é 1 sobre "3²". E, agora, nós temos "3⁰", que é igual a apenas 1. Logo, estamos tomando um valor um pouquinho maior, mas nós veremos como isso irá explodir. Agora, nós temos "3¹", e isso é igual a 3. E nós temos "3²", certo? "y" é igual a "3²", que é 9; "3³", 27; "3⁴", 81; e, se nós colocássemos à 5ª potência, 243. Vamos colocar isso num gráfico somente para ter uma ideia de como é rápido nós termos uma explosão valores. Deixe-me desenhar meus eixos aqui. Esse vai ser o eixo "x", e, aqui, eu vou desenhar o eixo "y". Eixo "x" e eixo "y". Deixe-me apenas fazer isso usando apenas incrementos de 5 unidades, porque eu realmente quero ter a ideia geral da curva nesse gráfico aqui. Só deixe-me desenhar isso aqui um pouquinho melhor, de acordo com as minhas possibilidades. Vamos dizer: isso é "5", "10", "15". Na verdade, eu não conseguirei chegar a 81 dessa maneira. Eu quero chegar a 81. Bem, isso é o suficiente para eu ver que não vai dar. Deixe-me desenhar isso um pouquinho diferente do que eu desenhei até agora então. Então, deixe-me desenhar isso aqui embaixo. Talvez você tenha reparado que todos esses valores serão positivos. Por que serão valores positivos? Porque eu tenho uma base positiva. Então, deixe-me desenhar algo como isso, como isso aqui. Ok. Já está bom o suficiente. Portanto, vamos dizer que eu tenho "10", "20", "30", "40", "50", "60", "70", "80". Então, aqui é o "80", aqui é o "10", e esse aqui é o "30". Isso dará uma boa aproximação. E vamos dizer que isso aqui é o "-5", e esse aqui o "+5". Na verdade, deixe-me esticar isso aqui um pouquinho. Portanto, esse será o "-1", esse será o "-2", "-3", "-4", e, aqui, nós temos o "1", o "2", o "3" e o "4". Assim, quando "x" é igual a "0", "y" é igual a 1, certo? "x = 0", "y = 1". E isso deve estar, mais ou menos, por aqui. Quando "x" é igual a 1, "y" é igual a 3, o que deve estar, mais ou menos, por aqui assim. Quando "x" é igual a 2, "y" é igual a 9. Vou colocar por aqui. Quando "x" é igual a 3, "y" é igual a 27; e, quando "x" é igual a 4, y é igual a 81. "y" é igual a 81! Você vê que isso está crescendo muito rapidamente! E, se eu colocasse o 5, eu teria 243, que nem caberia na minha tela! Quando você vai para "-1", nós recebemos o resultado menor e menor. Então, em "-1", nós temos "1/9". Com certeza, você não deve estar nem vendo isso! Isso está ficando cada vez mais perto de zero quando essa aproximação é um número cada vez mais negativo. Ou, eu deveria dizer: são números negativos menores. Usando "3‾¹·⁰⁰⁰", "3‾¹·⁰⁰⁰·⁰⁰⁰", nós teremos números mais e mais perto de zero. Na verdade, se aproximando de zero. Logo, se nós vamos para o infinito negativo, "y" está ficando muito próximo a zero. Nós somos lentos nesse caminho até o "0", mas, então, boom! Conforme nós começamos a tomar os números de "x" positivos, isso começa a crescer de forma gigantesca. E nós podemos aumentar isso aqui conforme aumentamos o valor de "x", em cada incremento de "x". Então, a ideia aqui é apenas mostrar a você que as funções exponenciais são muito, muito dramáticas. Bem, você pode construir uma função que sempre se expande ainda mais rapidamente do que essa. Por exemplo, você poderia dizer que "y" é igual a "xˣ", que se expande ainda mais rápido; mas para aqueles que lidam com a vida cotidiana, esse aqui é um dos mais rápidos. Agora, vamos resolver alguns problemas reais, que nos dará uma forma a mais de apreciarmos as funções exponenciais. E vamos dizer que alguém envie uma carta que contém uma corrente. Então, na semana 1 alguém envia uma corrente para 10 pessoas, e essa carta diz que você tem que enviar essa corrente para mais 10 novas pessoas, e, se você não fizer isso, você terá má sorte e seu cabelo irá cair. Você irá se casar com um sapo ou algo assim. Então, todas essas pessoas concordam e cada uma delas envia isso para mais 10 pessoas na semana seguinte. Logo, na semana 2, eles irão enviar cada uma das 10 cartas para mais 10 pessoas. Então, 10 cartas para 10 pessoas. Portanto, cada uma daquelas 10 pessoas originais estão, cada uma delas, enviando a mais 10 pessoas essas cartas. Agora, 100 pessoas têm essas cartas, certo? Assim, vamos anotar aqui a quantidade de cartas que foram enviadas: 10 foram enviadas aqui; e, aqui, 100 cartas foram enviadas. E, então, na semana 3, o que está acontecendo? Na semana 3, cada uma daquelas 100 pessoas que têm uma carta enviam, cada uma, 10 cartas. Então, assumindo que todo mundo enviou as suas correntes, agora, nós teremos 1.000 pessoas recebendo isso; e, daí, o padrão geral aqui é: as pessoas que receberam isso na semana "n", certo? É sobre a semana "n" que estamos falando. Então, quantas pessoas terão recebido essa carta? Na semana "n", nós temos "10ⁿ" pessoas, "10ⁿ" pessoas receberam essa carta. Então, receberam a carta: "10ⁿ" pessoas. Logo, isso é o número de pessoas que recebem a carta após "n" semanas. Então, se eu perguntasse a você quantas pessoas receberam essa carta depois da 6ª semana. Na verdade, quantas pessoas receberam as cartas? Bem, quanto é 10 elevado a "6ª" potência? "10⁶" é igual a 1 com mais seis zeros, que é 1 milhão de pessoas. Então, 1 milhão de pessoas receberam a carta em apenas 6 semanas; e, isso, cada um enviando apenas 10 cartas. Obviamente, na vida real, a maioria das pessoas jogaria isso no lixo; assim, você não teria isso como uma boa estimativa. Mas, se todas as 10 pessoas que você enviou isso também enviassem para 10 pessoas, e assim por diante, logo na 6ª semana você teria 1 milhão de pessoas recebendo essas cartas. E, na 9ª semana, você teria 1 bilhão de pessoas. E, francamente, na semana seguinte acabariam as pessoas do mundo para receberem cartas. Espero que vocês tenham gostado e até o próximo vídeo.