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Álgebra intermediária (parte 1)

Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 5

Lição 1: Introdução à equação reduzida da reta
Matemática
Álgebra intermediária (parte 1)
Formas de equações lineares
Introdução à equação reduzida da reta
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Introdução à equação reduzida da reta

Google Sala de Aula
Aprenda sobre a equação reduzida da reta de duas equações lineares com duas variáveis, e saiba como interpretá-la para calcular o coeficiente angular e a interceptação em y de sua reta.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

O que você vai aprender nessa lição

  • O que é equação reduzida da reta de equações lineares com duas variáveis
  • Como calcular o coeficiente angular e a interceptação em y de uma reta a partir de sua equação reduzida da reta
  • Como encontrar a equação de uma reta a partir de seu coeficiente angular e de sua interceptação em y

O que é equação reduzida da reta?

Equação reduzida da reta é uma forma específica de equações lineares. Ela tem a seguinte estrutura geral. Que rufem os tambores...
y, equals, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, b, end color #0d923f
Neste caso, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 e start color #0d923f, b, end color #0d923f podem ser dois números reais quaisquer. Por exemplo, essas são equações lineares na forma de equação reduzida da reta:
  • y, equals, 2, x, plus, 1
  • y, equals, minus, 3, x, plus, 2, comma, 7
  • y, equals, 10, minus, 100, x
Por outro lado, essas equações lineares não estão na forma reduzida da reta:
  • 2, x, plus, 3, y, equals, 5
  • y, minus, 3, equals, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
  • x, equals, 4, y, minus, 7
A equação reduzida da reta é a forma mais popular das equações lineares. Vamos nos aprofundar um pouco para saber por quê.

Os coeficientes na equação reduzida da reta

Além de ser clara e simples, a vantagem da forma de equação reduzida da reta é que ela mostra duas características principais da reta que ela representa:
  • O coeficiente angular é start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6.
  • A coordenada y da interceptação em y é start color #0d923f, b, end color #0d923f. Em outras palavras, a interceptação em y da reta está em left parenthesis, 0, comma, start color #0d923f, b, end color #0d923f, right parenthesis.
Por exemplo, a reta y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, start color #0d923f, plus, 1, end color #0d923f tem o coeficiente angular igual a start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 e a interceptação em y em left parenthesis, 0, comma, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, right parenthesis:
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um. O gráfico da reta é y igual a dois x mais um. A interceptação em y, em zero e um, está plotada e identificada. Há um segmento horizontal pontilhado que vai do ponto em zero e um até o ponto em um e um. Há um segmento vertical pontilhado que vai do ponto em um e um até o ponto em um e três. Os segmentos pontilhados estão identificados como coeficiente angular igual a dois.
Na verdade, o fato de esta forma dar o coeficiente angular e a interceptação em y de forma resumida é o motivo pelo qual ela é chamada equação reduzida da reta!

Teste seu conhecimento

Problema 1
Qual é o coeficiente angular da reta representada por y, equals, 5, x, minus, 7?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 2
Qual é o coeficiente angular da reta representada por y, equals, x, plus, 9?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 3
Qual é a interceptação em y da reta representada por y, equals, minus, 6, x, minus, 11?
Escolha 1 resposta:

Problema 4
Qual é a interceptação em y da reta representada por y, equals, 4, x?
Escolha 1 resposta:

Problema 5
Qual é o coeficiente angular da reta representada por y, equals, 1, minus, 8, x?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 6
Quais retas têm interceptação em y no ponto left parenthesis, 0, comma, 4, right parenthesis?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

Pergunta para reflexão
Como encontramos o coeficiente angular de uma reta dada na forma de equação reduzida da reta?
Escolha 1 resposta:

Desafio 1
Um plano cartesiano. O eixo horizontal está identificado como x. O eixo vertical está identificado como y. O gráfico da reta é descendente, vai da esquerda para a direita e tem uma interceptação em y positiva.
Qual das opções abaixo pode ser a equação da reta?
Escolha 1 resposta:

Desafio 2
Escreva a equação de uma reta cujo coeficiente angular seja 10 e a interceptação em y seja left parenthesis, 0, comma, minus, 20, right parenthesis.

Por que isso dá certo?

Você deve estar se perguntando como é que, na forma de equação reduzida da reta, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 dá o coeficiente angular e start color #0d923f, b, end color #0d923f dá a interceptação em y.
Será que é algum tipo de mágica? Bem, com certeza não se trata de mágica. Na matemática, sempre há uma explicação. Nesta seção, vamos analisar esta propriedade usando a equação y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f como exemplo.

Por que start color #0d923f, b, end color #0d923f dá a interceptação em y?

Na interceptação em y, o valor de x é sempre zero. Então, se queremos encontrar a interceptação em y de y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, temos que substituir x, equals, 0 e resolver para encontrar o valor de y.
y=2x+1=2⋅0+1Substituindo x=0=0+1=1\begin{aligned} y&=\maroonC{2}x+\greenE{1} \\\\ &=\maroonC{2}\cdot 0+\greenE{1}&\gray{\text{Substituindo }x=0} \\\\ &=0+\greenE{1} \\\\ &=\greenE{1} \end{aligned}
Vemos que na interceptação em y, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x se torna zero e, sendo assim, ficamos com y, equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f.

Por que start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 dá o coeficiente angular?

Vamos refrescar nossa memória sobre o que é coeficiente angular, exatamente. Coeficiente angular é a razão da variação em y sobre a variação em x entre quaisquer dois pontos da reta.
start text, C, o, e, f, i, c, i, e, n, t, e, space, a, n, g, u, l, a, r, end text, equals, start fraction, start text, V, a, r, i, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, e, m, space, end text, y, divided by, start text, V, a, r, i, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, e, m, space, end text, x, end fraction
Se pegarmos dois pontos onde a variação de x for exatamente 1 unidade, então, a variação de y será igual ao próprio coeficiente angular.
start text, C, o, e, f, i, c, i, e, n, t, e, space, a, n, g, u, l, a, r, end text, equals, start fraction, start text, V, a, r, i, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, d, e, space, end text, y, divided by, 1, end fraction, equals, start text, V, a, r, i, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, d, e, space, end text, y
Agora vamos ver o que acontece com os valores de y na equação y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f à medida que os valores de x aumentam constantemente em 1 unidade.
xy
0start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f
1start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
2start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
3start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
4start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
Vemos que sempre que x aumenta em 1 unidade, y diminui em start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 unidades. Isso porque x determina o múltiplo de start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 no cálculo de y.
Conforme descrito acima, a variação em y que corresponde a x aumentar em 1 unidade é igual ao coeficiente angular da reta. Por este motivo, o coeficiente angular é start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Desafio 3
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um. O gráfico de uma reta passa pelos pontos zero e três negativo e um e um. Esses dois pontos estão plotados e identificados.
Complete a equação da reta.
y, equals

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