Como escrever equações lineares em todas as formas

RKA - Uma reta passa através dos pontos (-3, 6) e (6, 0). Encontre a equação desta reta em: equação fundamental da reta, equação reduzida da reta, equação geral da reta. E a maneira de pensar é que essas são apenas três diferentes formas de escrever a mesma equação; então, se der uma delas, a gente pode manipular para obter qualquer uma das outras. Mas, só para saber, esta é a equação fundamental da reta: digamos que o ponto (x₁, y₁) são um ponto na reta... e, quando alguém coloca esse pequeno subscrito aqui, eles escrevem apenas um "x" que significa que estamos falando sobre uma variável que pode ser qualquer valor. Se alguém escreve "x" com um subscrito 1 e "y" com subscrito 1, é como dizer que [é] um valor "x" particular e um particular valor de "y", ou uma coordenada particular... e você vai ver quando fizer o exemplo... mas a equação fundamental da reta diz: se conheço um ponto particular, sei a inclinação ou coeficiente angular da reta, então colocar aquela reta em equação fundamental seria "y - y₁ = m‧(x - x₁)". Por exemplo (e vamos fazer isso nesse vídeo), se o ponto (-3, 6) está na reta, daí, eu diria "y - 6 = m‧(x - (-3))" (então, vai acabar se tornando "x + 3"). Tudo isso é um "x" particular e um particular "y"... poderia ser um (-3, 6)... então, é a equação fundamental da reta. Na equação reduzida da reta, é "y = mx + b", onde, mais uma vez, "m" é a inclinação, "b" é a intersecção da reta com o eixo "y" (onde a reta intercepta o eixo "y", que é o valor de "y" quando "x"). A equação geral da reta é a forma "Ax + By = C", onde esses são apenas dois números essencialmente (eles não possuem nenhuma interpretação diretamente no gráfico). Vamos fazer; vamos descobrir quais são essas equações. A primeira coisa que queremos fazer é descobrir a inclinação. Uma vez que descobrirmos a inclinação, a equação fundamental da reta é, na verdade... bom, é bem fácil de calcular. Só para lembrar: a inclinação, que é igual a "m", que será igual à diferença em "y" na diferença em "x". Agora, qual é a diferença em "y"? Se olhar como o nosso ponto final, se imaginar que vamos daqui para aquele ponto, qual é a diferença em "y"? A gente tem o ponto final que é zero ("y" termina no zero) e "y" era no 6, então, nosso ponto final "y" é zero, nosso ponto inicial "y" é 6. Qual é nosso ponto "x" final, nossa coordenada "x"? Nossa coordenada "x" final era 6... vou deixar claro, não quero te confundir... esse zero... a gente tem aquele zero, que é aquele zero ali, e tem esse 6, que era nosso ponto inicial "y", que é aquele 6 ali... queremos terminar o valor de "x", que é aquele 6 ali, e queremos subtrair daquele nosso valor inicial "x". Nosso valor inicial de "x" é aquele ali, que é aquele -3. Apenas para garantir que a gente sabe o que está sendo feito: esse -3 é aquele -3 ali. Só estou dizendo: se for desse ponto para aquele ponto, nosso "y" cai para 6; fomos de 6 para zero (nosso "y" caiu para 6). Então, tem "0 - 6" é -6 (faz sentido, "y" caiu em 6). E, se for daquele ponto para aquele ponto, o que acontece com "x"? A gente foi de -3 para 6 e deveria aumentar em 9. E, se calculou isso, pegue o seu "6 - (-3)", que é a mesma coisa que “6 + 3”, que é 9. E o que é -6/9? Se simplificar isso, é -2/3 (divide o numerador e o denominador por 3); é nossa inclinação ou coeficiente angular (-2/3). Estamos prontos para usar a equação fundamental da reta; tem um ponto e poderia pegar um desses pontos. Só vou pegar o (-3, 6), e tem nossa inclinação. Então, vamos colocar isso como equação fundamental da reta. Tudo o que tem que fazer é dizer "y" menos... agora, daria para pegar qualquer um desses pontos... eu vou pegar esse... "y" menos o valor de "y" aqui... "y - 6" é igual à nossa inclinação (que é 2/3) vezes "x" menos nossa coordenada "x".... então, "x" menos... nossa coordenada "x" é -3... "x - (-3)", e pronto. Dá para simplificar: esse fica "y - 6" é igual a -2/3 vezes "x"... "x - (-3)" é a mesma coisa que "x + 3"... esta é a nossa equação fundamental da reta. Agora, dá para fazer algebricamente para colocar na nossa equação reduzida da reta. Vamos lá. Vamos fazer a equação reduzida da reta em laranja. Tem equação reduzida da reta... o que podemos fazer para simplificar isso? Bom, dá para multiplicar para -2/3; então, você obtém "y - 6" igual a... estou só distribuindo o -2/3... -2/3 vezes "x" é “-2/3(x)", e -2/3 vezes 3 é -2. Agora, para obter isso em equação reduzida da reta, é preciso somar o 6 aos dois lados para eliminar no lado esquerdo. Aí, vamos somar 6 aos dois lados. No lado esquerdo da equação, sobra apenas um "y"... esses são cancelados... você obtém um "y" igual a “-2/3x"... "-2 + 6", +4. Aí, a nossa equação reduzida da reta, "y = mx + b", é a nossa interceptação em "y". Agora, a última coisa que precisamos fazer é entrar na equação geral da reta. Mais uma vez, só têm que manipular algebricamente para o "x" e o "y" ficarem desse lado da equação. [É] só somar "2/3(x)" aos dois lados desta equação... vou começar aqui... tem "y = -2/3(x) + 4" (é a equação reduzida da reta)... vamos somar “2/3(x)"... mais “2/3(x)" aos dois lados dessa equação. Vou fazer de forma que não tenha esse 2/3 no lado direito; esse “-2/3(x)". Do lado esquerdo da equação... mas cheguei um pouco, talvez mais do que devia... o que é o lado esquerdo desta equação? São “2/3(x)" porque "2/3(x)" mais este "y" é o meu lado esquerdo, e é igual a... esses são cancelados... é igual a 4. Estamos na equação geral da reta, que é a equação geral da reta. Se quiser que apareça, faça com que apareça bem limpo e não tenha frações. Dá para multiplicar os dois lados dessa equação por 3. Se fizer isso, teremos o quê? "2/3(x)‧(3)" é apenas "2x"; "y‧(3)" é "3y". E, aí, “(4)‧(3)” é 12. Essas são as mesmas equações, apenas multipliquei cada termo por 3. Se fizer do lado esquerdo, pode fazer do lado direito; ou "tem" que fazer do lado direito. E estamos na equação geral da reta.