As maravilhas da álgebra

RKA19MC - Antes de chegarmos ao grosso da álgebra, gostaria de citar uma das mentes mais brilhantes da história humana, Galileu Galilei, pois acho que sua frase abrange o verdadeiro ponto da álgebra e da matemática em geral. Ele disse: "A filosofia está escrita em um grande livro que está diante dos nossos olhos, e este é o universo, mas não poderemos entender este livro se antes não aprendermos a linguagem e compreendermos os símbolos no qual é escrito. Este livro está escrito em linguagem matemática sem a qual nos perderemos em vão por um labirinto escuro." Bastante dramático, mas bastante profundo. Isso realmente mostra qual é o ponto da matemática e o que veremos assim que começarmos a nos aprofundar mais e mais na álgebra. Teremos que abstrair coisas para alcançar as ideias centrais que começam a explicar realmente como o universo é estruturado. Logicamente, essas ideias podem ser aplicadas a coisas como Economia, Finanças, Física e Química, mas, na sua essência, são a mesma ideia. Assim, são mais fundamentais, mais puras, que qualquer uma dessas aplicações. E, para ver o que eu quero dizer com alcançar a origem da ideia, vamos começar com um... acho que poderíamos... bom, começamos com a grande filosofia do universo, como é descrita usando matemática. Vamos começar com uma ideia bastante simples e concreta. Vamos nos abstrair e ver como a mesma ideia se conecta ao longo dos vários domínios em nosso universo. Digamos que estamos em uma loja e vamos comprar algo que está em promoção. A promoção está com 30% de desconto. E aí eu me interesso! Não faço compras em lojas muito caras. Vamos dizer que estou interessado em uma calça que, antes da promoção, custava cerca de 20 reais. Isso é o quanto eu gasto com as minhas calças. Enfim, estou interessado em uma calça de 20 reais, mas o que é ainda melhor é que há um desconto de 30% nessa calça. Quanto você acha que eu vou ter de desconto no preço de 20 reais? Isso nem é álgebra ainda. É algo que provavelmente você já viu antes. Você multiplicaria 30% vezes 20 reais. Assim, seu desconto seria igual a... Você poderia escrever que deveria ser igual a 30% vezes 20 reais. Queremos escrever 20 reais em roxo. Ou você poderia escrever, caso quisesse, como uma multiplicação, poderia escrever como 0,30 vezes 20 reais. Se fizesse as contas, teria 6 reais. Não tem nada de novo até aqui. Mas, e se eu quisesse generalizar um pouco? Esse é o desconto dessa calça em particular, mas se eu quisesse saber o desconto de qualquer item da loja? Bom, então eu poderia dizer: seja "x" o preço. Vamos usar outra cor. Vou utilizar um símbolo: seja "x" o preço do produto que eu quero comprar, o preço sem desconto do produto na loja. Agora, podemos dizer que nosso desconto é igual a 30% vezes "x", o desconto é 30% vezes "x". Ou, se quiséssemos escrever como decimal, a gente poderia escrever 30% na forma decimal. Poderíamos escrever 0,30 vezes "x". Agora, vem a parte interessante. Posso pegar o preço de qualquer produto da loja e substitui-lo aqui por "x", basicamente, posso multiplicar 0,30 vezes "x" para obter o valor do desconto. Agora sim, estamos começando, pouco a pouco, a nos aproximar da abstração da álgebra. Veremos que ela pode apresentar muito mais nuances e profundidade e, francamente, muito mais beleza, conforme começamos a estudar mais e mais ideias algébricas. Mas, ainda não terminamos aqui. Podemos abstrair isso um pouco mais ainda. Dissemos que generalizamos para qualquer produto, não estamos dizendo que fizemos apenas para o produto de 20 reais. Caso o produto custe R$10, podemos colocar o valor do produto de R$10 no lugar de "x". Então, teremos 0,30 vezes 10. O desconto seria de 3 reais. Poderia ser um produto de R$100. E desconto seria 30 reais. Mas vamos generalizar mais. Digamos, qual é o desconto para uma venda qualquer, quando a promoção tem certa porcentagem? Agora, podemos dizer que o desconto, deixa eu definir uma variável, vamos chamar de "m" igual... Eu vou usar "p", para que faça sentido. "p" é igual à porcentagem do desconto. Porcentagem do desconto. O que podemos fazer agora? Podemos dizer que o desconto igual a porcentagem de desconto.... Nesses outros exemplos, estávamos usando 30%, mas agora podemos dizer que "p" é a porcentagem de desconto. É "p", esta é a porcentagem de desconto do produto em questão, vezes o preço sem desconto desse produto é igual ao valor a ser pago pelo cliente. Assim, o desconto é igual a "p" vezes "x". Agora vem a parte interessante. Já que temos uma maneira genérica de calcular o desconto para qualquer porcentagem de desconto e qualquer produto "x", não precisamos usar essas palavras e essas letras. Tudo o que poderíamos ter dito era: "seja 'y' igual ao desconto", então poderíamos ter escrito essa mesma ideia. Em vez de escrever desconto, poderíamos ter escrito "y" igual a porcentagem de desconto "p", vezes o preço sem desconto do produto, vezes "x". Você poderia ter definido essas letras do jeito que quisesse. Em vez de usar "y", poderia ter escrito uma letra grega ou qualquer símbolo, desde que consiga manter em mente que este símbolo representa, na verdade, o desconto em reais. Temos algo realmente interessante, porque podemos utilizar esse tipo de relação, que é uma equação, você está equalizando "y" a esse lado direito aqui, é isso que chamamos de equação. Isso pode ser utilizado para coisas que estão completamente não relacionadas ao valor de desconto da nossa loja. Você pode ter na Física. Você vai ver que "F" igual a "m" vezes "a". As letras são diferentes mas são fundamentalmente a mesma ideia. Podemos deixar "y" igual a força e "m" igual a... o "m" igual a "p". Deixa eu escrever que "p" é igual à massa. Só que essa não seria uma maneira muito intuitiva de definir, mas quero te mostrar que a mesma ideia, a mesma relação está sendo aplicada a duas coisas diferentes. Podemos dizer que "x" é igual à aceleração. "x" é igual a aceleração. A famosa definição "força é igual a massa vezes a aceleração" pode ser reescrita e permanece exatamente a mesma ideia, já que "y", que definimos como força, pode ser igual a massa, para a qual usaremos o símbolo "p", que é igual a "p" vezes aceleração. Aqui, vamos usar a letra "x", vezes "x". Essa é exatamente a mesma equação. É exatamente a mesma equação. Podemos ver que essa equação pode ser levada e aplicada para cálculos em Economia ou aplicada para cálculos financeiros, ou para cálculos de Tecnologia da Informação, ou Lógica, Engenharia Elétrica, qualquer outra coisa, Contabilidade. Há um número infinito de aplicações dessa equação. O que é legal sobre a Matemática, e particularmente legal sobre a Álgebra, é que podemos nos focar nessa abstração. A gente pode focar no abstrato aqui e podemos manipular esse abstrato. E o que descobrirmos a partir dessas ideias, dessas manipulações, pode então ser levado e reaplicado a todas essas outras aplicações, a todas elas. O que é ainda mais interessante é que está nos mostrando, de certa forma, a verdadeira estrutura do universo. Se pudesse colocar de lado todas essas definições humanas e todas essas aplicações humanas, por exemplo, poderíamos dizer: "Olha, se 'y' é igual a 'p' vezes 'x'..." Literalmente, se alguém dissesse: "Ei! Esse é 'y'." E alguém dissesse, por outro lado: "Eu tenho 'p' vezes 'x'." Posso dizer: "Bom, vocês dois têm a mesma coisa em suas mãos." Se você tivesse que dividir um desses por um número e quisesse que eles se mantivessem iguais, dividiria o outro pelo mesmo número. Por exemplo, sabemos que "y" é igual a "p" vezes "x", e você quer que os dois sejam iguais. Quanto é "y" sobre "x"? Bom, "y" era igual a "p" vezes "x". Então, "y" dividido por "x" será o mesmo que "p" vezes "x", dividido por "x". Agora vem a parte interessante, pois "p" vezes "x", dividido por "x"... Se você multiplicar e dividir algo por uma mesma coisa, obterá o número original. Se multiplicar "p" por cinco e dividir por cinco terá apenas "p" ou seja lá que número for, esses se cancelariam. Mas somos capazes de manipular a abstração aqui e chegar a "y" sobre "x" igual a "p". Vamos fazer em verde, "y" sobre "x" é igual a "p". Isso tem implicações em cada uma dessas ideias. Uma está dizendo uma verdade fundamental sobre o universo, quase desprovida de qualquer uma dessas aplicações. Mas, agora, também podemos pegá-las de volta e levá-las para qualquer lugar onde as aplicamos. A coisa realmente interessante é que encontraremos novas... Há um número infinito de aplicações e nem ao menos sabemos francamente a maior parte delas. Vamos descobrir novas aplicações por milhares de anos. Então, espero que isso te mostre a razão de Galileu ter dito o que disse sobre a matemática realmente ser a linguagem com a qual podemos entender a filosofia do universo. Isso é o que as pessoas vão nos dizer, se uma forma de vida completamente alienígena entrasse em contato com os humanos, a matemática seria provavelmente nossa primeira base comum, a partir de onde poderíamos começar a formar algo para servir de método de comunicação.