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Álgebra intermediária (parte 1)
Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 8
Lição 11: Taxa de variação médiaIntrodução à taxa de variação média
Qual é a taxa de variação média de uma função em um intervalo?
Quer participar da conversa?
- essa taxa média de variação média, não é a mesma coisa de coeficiente angular?(6 votos)
- Sim a taxa média de variação é o coeficiente angular. No entanto, no caso de uma parábola, esse conceito não é abordado nas interpretações de equação da reta.(3 votos)
- Não sabia disso agora posso usar ate em fisica!(5 votos)
- Então, numa parábola, se eu pegar dois pontos, sendo um ponto o vértice da parábola e outro ponto qualquer e ligá-los por um segmento, este segmento será um segmento da secante?(3 votos)
- Sim! Mas não precisa necessariamente ser o vértice. Pegue qualquer dois pontos pertencentes a parábola, trace um segmento e ele será secante, salvo claro se você tomar dois pontos iguais, daí não será possível traçar a reta!(1 voto)
- Alguém poderia, por gentileza, me dizer uma definição formal sobre taxa de variação média?
Agradeço desde já(3 votos)- Poderia ser assim: taxa de variação média de alfa, no tempo, de A a B: taxa média de variação de alfa = (alfa b - alfa a)/ (tb - ta).
Se alfa for posição num eixo, essa taxa será chamada de velocidade média. Se alfa for velocidade, a taxa será aceleração média. Em muitos casos ela não terá um nome especial, mas poder chamada pelo nome completo. Eventualmente, não precisa ser variação no tempo.(3 votos)
- e se fazer com o delta ica igual?(1 voto)
- ainda não entendi nada.. obrigado(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA2JV - Olá,
tudo bem com você? Você vai assistir agora a mais
uma aula de Matemática. Nesta aula, vamos realizar uma
introdução à taxa de variação média. Para começar a conversar sobre isso, vamos observar estes dois gráficos
que eu coloquei aqui na tela e as suas respectivas funções d(t), onde "d" representa a distância
e "t" representa o tempo. Ou seja, temos a distância
em função do tempo. À esquerda, temos que
d(t) = 3t + 1, e você pode ver no gráfico como a distância está mudando
em função do tempo. Aqui temos uma reta. E, apenas como uma
revisão da álgebra, a taxa de variação de uma reta
é definida como a inclinação de uma reta. E podemos descobrir isso através
de uma variação no tempo e a variação da distância que
ocorre nesse intervalo de tempo. Nesta situação, por exemplo, se a gente
for do instante de tempo igual a 1 até o instante
de tempo igual a 2, nossa variação no tempo (Δt)
é igual a 1. E qual é a nossa
variação na distância? Nós vamos da distância igual a 4 metros
(no instante de tempo igual a 1) até a distância igual a 7 metros
(no instante de tempo igual a 2). Sendo assim, nossa variação
na distância aqui é igual a 3. Se a gente quiser
colocar as unidades, teremos aqui 3 metros para
cada segundo do tempo. A inclinação é igual
à variação na vertical dividida pela variação na horizontal, que é igual à variação em "d"
(neste caso, Δd) sobre a variação em "t"
(ou seja, Δt), onde isto é igual a 3/1. Podemos ainda escrever isto
como sendo 3 m/s. E você pode reconhecer
isto como uma taxa. Pensando nessa taxa como a variação
na distância sobre a variação no tempo, temos que essa taxa
é a velocidade. Enfim, tudo isto é uma revisão do que
provavelmente você já viu antes. E o que é interessante
sobre uma reta, ou se estamos falando
sobre uma função linear, é que a taxa não muda
em nenhum ponto. A inclinação desta reta, entre
quaisquer dois pontos, sempre será 3. Agora, o interessante sobre esta função
à direita é que isso não é verdade. Nossa taxa de variação está
mudando constantemente. E vamos estudar isso com
muito mais profundidade quando a gente chegar
ao cálculo diferencial. Na verdade, este vídeo é algo
fundamental para esse futuro, onde vamos estudar
sobre o cálculo diferencial. Inclusive, o que vamos
começar a fazer aqui é pensar sobre a taxa instantânea
de variação em algum lugar específico. Por exemplo, vamos dizer
que estamos aqui. Se você pensar sobre a inclinação
de uma reta que mal toca este gráfico, teremos algo mais ou menos assim:
uma reta tangente a este ponto. Agora, a inclinação da reta tangente
que está aqui neste outro ponto parece ser
um pouco maior. E aqui parece que essa reta
é ainda mais inclinada. Observando isso, percebemos
que a taxa de variação está aumentando à medida
que "t" aumenta. Como eu mencionei,
no futuro vamos construir as ferramentas para pensar melhor
sobre a taxa instantânea de variação. Mas o que podemos começar
a pensar aqui agora é sobre a taxa média de variação. E a maneira como pensamos sobre
a nossa taxa média de variação, utilizando as mesmas ferramentas
que aprendemos em álgebra, é através de inclinações
de retas secantes. Mas o que é
uma reta secante? Falamos sobre isso
em geometria: uma reta secante é algo que
cruza uma curva em dois pontos. Então, vamos dizer que temos uma reta
que cruza a curva em t = 0 e em t = 1. Eu vou desenhar essa reta aqui.
Isto aqui é uma reta secante. E, conforme eu falei, você pode
ver a inclinação da reta secante como a taxa média de variação
de t = 0 a t = 1. Sabendo disso, qual é
a taxa média de variação entre esses instantes de tempo? Bem, como visto, a inclinação da reta
secante vai ser a variação na distância, dividida pela variação no tempo. E será igual a, bem, nossa variação do tempo
é igual a 1 segundo. Eu vou colocar as
unidades aqui: 1 segundo. E qual é a nossa variação na distância? Em t = 0,
temos que d(0) = 1. E, em t = 1,
temos que d(1) = 2. Então, nossa distância
aumentou em 1 metro. Sendo assim, avançamos
1 metro em 1 segundo. Podemos dizer, então, que nossa taxa
média de variação nesse primeiro segundo, de t = 0 a t = 1,
é 1 m/s. Agora, vamos pensar sobre
a taxa média de variação se a gente for de
t = 2 até t = 3. Bem, mais uma vez, podemos
olhar para esta reta secante e podemos descobrir
sua inclinação. Então, temos a inclinação aqui. E você também pode
pensar como sendo a taxa média de variação
de t = 2 até t = 3. Como já mencionei, a taxa de variação
parece estar mudando constantemente, mas podemos pensar na
taxa média de variação. E isso será a variação na distância
em relação à variação no tempo, que será igual a: a distância, quando t = 2,
é igual a 5. Temos aqui: 1, 2, 3, 4, 5.
Então, temos 5. E, quando t = 3,
nossa distância é igual a 10. Temos aqui: 6, 7, 8, 9, 10.
Então, temos 10. A nossa variação no tempo
é bem simples. Nós avançamos um segundo apenas,
então, isto é 1 segundo. Sabendo dessas coisas,
qual é a variação na distância? Vamos de 5 metros para 10 metros,
então, Δd = 5 metros. Ou seja, temos 5 m/s. Isso deixa muito claro que a nossa
taxa média de variação mudou entre o intervalo de tempo
de t = 0 e t = 1 até o intervalo de tempo
de t = 2 e t = 3. Nossa taxa média
de variação é maior neste segundo intervalo
do que neste primeiro. E, como você pode imaginar, algo
muito interessante para se pensar é o que aconteceria se você calculasse
a inclinação da reta secante entre pontos cada vez
mais próximos. Ao fazer isso, você chegaria cada vez
mais perto da inclinação da reta tangente. E isso é o que faremos quando a gente
for estudar o cálculo diferencial. Espero que você tenha
compreendido tudo direitinho aqui e mais uma vez eu quero deixar
para você um grande abraço e dizer que te encontro na próxima. Então, até lá!