Introdução à taxa de variação média

RKA2JV - Olá, tudo bem com você? Você vai assistir agora a mais uma aula de Matemática. Nesta aula, vamos realizar uma introdução à taxa de variação média. Para começar a conversar sobre isso, vamos observar estes dois gráficos que eu coloquei aqui na tela e as suas respectivas funções d(t), onde "d" representa a distância e "t" representa o tempo. Ou seja, temos a distância em função do tempo. À esquerda, temos que d(t) = 3t + 1, e você pode ver no gráfico como a distância está mudando em função do tempo. Aqui temos uma reta. E, apenas como uma revisão da álgebra, a taxa de variação de uma reta é definida como a inclinação de uma reta. E podemos descobrir isso através de uma variação no tempo e a variação da distância que ocorre nesse intervalo de tempo. Nesta situação, por exemplo, se a gente for do instante de tempo igual a 1 até o instante de tempo igual a 2, nossa variação no tempo (Δt) é igual a 1. E qual é a nossa variação na distância? Nós vamos da distância igual a 4 metros (no instante de tempo igual a 1) até a distância igual a 7 metros (no instante de tempo igual a 2). Sendo assim, nossa variação na distância aqui é igual a 3. Se a gente quiser colocar as unidades, teremos aqui 3 metros para cada segundo do tempo. A inclinação é igual à variação na vertical dividida pela variação na horizontal, que é igual à variação em "d" (neste caso, Δd) sobre a variação em "t" (ou seja, Δt), onde isto é igual a 3/1. Podemos ainda escrever isto como sendo 3 m/s. E você pode reconhecer isto como uma taxa. Pensando nessa taxa como a variação na distância sobre a variação no tempo, temos que essa taxa é a velocidade. Enfim, tudo isto é uma revisão do que provavelmente você já viu antes. E o que é interessante sobre uma reta, ou se estamos falando sobre uma função linear, é que a taxa não muda em nenhum ponto. A inclinação desta reta, entre quaisquer dois pontos, sempre será 3. Agora, o interessante sobre esta função à direita é que isso não é verdade. Nossa taxa de variação está mudando constantemente. E vamos estudar isso com muito mais profundidade quando a gente chegar ao cálculo diferencial. Na verdade, este vídeo é algo fundamental para esse futuro, onde vamos estudar sobre o cálculo diferencial. Inclusive, o que vamos começar a fazer aqui é pensar sobre a taxa instantânea de variação em algum lugar específico. Por exemplo, vamos dizer que estamos aqui. Se você pensar sobre a inclinação de uma reta que mal toca este gráfico, teremos algo mais ou menos assim: uma reta tangente a este ponto. Agora, a inclinação da reta tangente que está aqui neste outro ponto parece ser um pouco maior. E aqui parece que essa reta é ainda mais inclinada. Observando isso, percebemos que a taxa de variação está aumentando à medida que "t" aumenta. Como eu mencionei, no futuro vamos construir as ferramentas para pensar melhor sobre a taxa instantânea de variação. Mas o que podemos começar a pensar aqui agora é sobre a taxa média de variação. E a maneira como pensamos sobre a nossa taxa média de variação, utilizando as mesmas ferramentas que aprendemos em álgebra, é através de inclinações de retas secantes. Mas o que é uma reta secante? Falamos sobre isso em geometria: uma reta secante é algo que cruza uma curva em dois pontos. Então, vamos dizer que temos uma reta que cruza a curva em t = 0 e em t = 1. Eu vou desenhar essa reta aqui. Isto aqui é uma reta secante. E, conforme eu falei, você pode ver a inclinação da reta secante como a taxa média de variação de t = 0 a t = 1. Sabendo disso, qual é a taxa média de variação entre esses instantes de tempo? Bem, como visto, a inclinação da reta secante vai ser a variação na distância, dividida pela variação no tempo. E será igual a, bem, nossa variação do tempo é igual a 1 segundo. Eu vou colocar as unidades aqui: 1 segundo. E qual é a nossa variação na distância? Em t = 0, temos que d(0) = 1. E, em t = 1, temos que d(1) = 2. Então, nossa distância aumentou em 1 metro. Sendo assim, avançamos 1 metro em 1 segundo. Podemos dizer, então, que nossa taxa média de variação nesse primeiro segundo, de t = 0 a t = 1, é 1 m/s. Agora, vamos pensar sobre a taxa média de variação se a gente for de t = 2 até t = 3. Bem, mais uma vez, podemos olhar para esta reta secante e podemos descobrir sua inclinação. Então, temos a inclinação aqui. E você também pode pensar como sendo a taxa média de variação de t = 2 até t = 3. Como já mencionei, a taxa de variação parece estar mudando constantemente, mas podemos pensar na taxa média de variação. E isso será a variação na distância em relação à variação no tempo, que será igual a: a distância, quando t = 2, é igual a 5. Temos aqui: 1, 2, 3, 4, 5. Então, temos 5. E, quando t = 3, nossa distância é igual a 10. Temos aqui: 6, 7, 8, 9, 10. Então, temos 10. A nossa variação no tempo é bem simples. Nós avançamos um segundo apenas, então, isto é 1 segundo. Sabendo dessas coisas, qual é a variação na distância? Vamos de 5 metros para 10 metros, então, Δd = 5 metros. Ou seja, temos 5 m/s. Isso deixa muito claro que a nossa taxa média de variação mudou entre o intervalo de tempo de t = 0 e t = 1 até o intervalo de tempo de t = 2 e t = 3. Nossa taxa média de variação é maior neste segundo intervalo do que neste primeiro. E, como você pode imaginar, algo muito interessante para se pensar é o que aconteceria se você calculasse a inclinação da reta secante entre pontos cada vez mais próximos. Ao fazer isso, você chegaria cada vez mais perto da inclinação da reta tangente. E isso é o que faremos quando a gente for estudar o cálculo diferencial. Espero que você tenha compreendido tudo direitinho aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e dizer que te encontro na próxima. Então, até lá!