Intervalos crescentes, decrescentes, positivos ou negativos

RKA - O que eu quero fazer nesse vídeo é mostrar para vocês neste gráfico onde essa função é positiva, onde é negativa. E, depois, analisar onde ela está crescendo e onde está decrescendo nesse gráfico. Então, vamos começar primeiro vendo onde a f(x), a nossa função, é positiva. A nossa função f(x) é positiva nesse intervalo, por exemplo, que vai daqui até aqui. Ela está sempre acima do zero. Por isso que ela é positiva. Então, daqui até aqui, ela vai ser positiva e também daqui para cima. Aqui também ela está na parte positiva, acima do zero. Tudo o que está abaixo de zero é negativo, acima de zero é positivo. Então, digamos que esse ponto aqui seja o ponto “a”, no eixo do “x”. Aqui seja o ponto “b”. E aqui nós vamos considerar como sendo ponto “c”, no eixo do “x”. Logo, posso afirmar o seguinte. Eu posso afirmar que meu “x”, para essa função ser positiva, meu “x” tem que estar entre o “a” e o “b”, ou seja, o “x” precisa ser maior do que “a”, mas menor do que “b”, ou, o “x” precisa ser maior do que c nesse caso. Então, "x" é maior do que “c”. Então, nesses dois intervalos, a minha função f(x) é positiva. E agora, onde a minha f(x) vai ser negativa? Vou colocar aqui f(x) negativa. Muito fácil de localizar esse gráfico também. Ela é negativa quando estiver abaixo de zero. Então, ela está abaixo de zero nesse pedaço aqui. Você percebe que aqui a função é negativa e também nesse pedaço. Esse pedaço também torna a função negativa. Então, já podemos escrever o seguinte. Que, para essa função ser negativa, o meu “x” precisa ser menor do que “a”, tem estar à esquerda do “a”, logo ele é menor do que “a”. Então, x < a. Ou, nesse intervalo que vai do “b” até o “c”. Então, se o “x” estiver entre o “b” e o “c”, a função será negativa. Logo, eu posso colocar aqui que o “b < x < c”. Então, nesses dois intervalos a nossa função é negativa. Agora, vamos analisar o seguinte. Vamos analisar onde essa função ela é crescente e depois onde ela é decrescente. Então, primeiro aqui f(x) é crescente. Em qual intervalo essa função vai ser crescente? Como a gente pode analisar, o que é uma função crescente? É quando o nosso “x” cresce e o “y” cresce junto. Então, se o “x” crescer e “y” crescer também, a função é crescente. Logo, aqui, eu consigo perceber o seguinte. Nesse caso, indo daqui para cá, você percebe que a função está crescendo. É sempre da esquerda para a direita. Então, “x” está crescendo aqui e o "y" também cresce junto. Quanto maior o valor do “x”, maior valor do “y”. Então, vai até aqui assim, que seria um ponto de máximo relativo dessa função. Então, daqui até aqui a nossa função é crescente. Depois ela vem decrescendo até esse ponto aqui. E, depois desse ponto para a direita, acontece a mesma coisa. O “x” cresce e a função cresce junto com “x”, então ela é crescente. Então, esses dois intervalos são os intervalos onde a nossa função é crescente. Vamos, então, escrever esses intervalos aqui. Vamos colocar primeiro o nome desses pontos. Digamos que aqui é o nosso ponto “d”. E aqui assim seja o nosso ponto “e”. Então, eu vou dizer o seguinte: a f(x) é crescente em qual intervalo? Ela é crescente se “x” for menor do que “d”. Então, você percebe que todos os valores antes do “d” tornam a nossa função crescente. Vou dizer que o x < d. E eu não vou colocar menor ou igual porque quando o “x” é exatamente igual ao “d”, quando ele é exatamente igual ao “d”, perceba que a inclinação da nossa reta tangente ela vai estar totalmente na horizontal. Então, não vai ser crescente. Esse ponto "d" é exatamente aquele ponto de inflexão, que separa a parte crescente da parte da decrescente. Então, o “x” tem que ser apenas menor do que “d”, nesse caso. Ou, deixe eu colocar o "ou" aqui, ou o “x” precisa ser o que maior do que esse valor “e”. Todos os valores à direita do “e” tornam essa função crescente. Eu também não vou também dizer maior ou igual a “e” porque exatamente nesse ponto acontece a mesma coisa. E a tangente a esse ponto seria totalmente na horizontal. Então, não serve o ponto x = e. Agora, o ponto “x”, os pontos, quer dizer, “x” maiores do que “e” vão servir para nós porque todos os pontos maiores do que “e” tornam a função crescente, como você pode observar. E agora, para finalizar, vamos determinar onde essa função é decrescente. Só colocar aqui um pouco pra cima. F(x) é decrescente, é decrescente aqui em qual intervalo? Perceba que ela vai ser decrescente daqui desse “d” até o “e”. O que é a função decrescente então? É quando “x” aumenta, se esse nosso “x” aumentar o valor, o “y” vai reduzir o seu valor. Então, essa função aqui seria uma função decrescente. Logo, o intervalo na função da crescente é um intervalo que vai do “d” até o “e”, sem incluir o “d” e sem incluir o “e”. Então, aqui o nosso “x” precisa ser maior do que o “d”, porém menor do que o “e”. Esse intervalo está na função decrescente. Agora, perceba uma coisa. Com essas deduções que nós fizemos, nós conseguimos perceber que a função ser positiva e ser crescente não significa a mesma coisa. Repara que os intervalos não coincidem. Ela é positiva quando está acima do zero. Então, nesse pedaço aqui. E ela vai ser crescente quando o “x” aumentar e o “y” aumentar junto. Então, esse pedaço aqui e esse pedaço. E negativa a mesma coisa. Ela é negativa quando está abaixo de zero, logo nessa região aqui. E ela vai ser decrescente quando o “x” aumentar e o “y” diminuir ao mesmo tempo, como acontece nesse intervalo aqui. Então, nem sempre vai coincidir esses intervalos, beleza? Então aqui nos deu um censo legal de como isso funciona. Até o próximo vídeo!