O que é o contradomínio de uma função?

RKA - Apenas para constar como revisão, vamos supor uma função “f”. Eu não preciso necessariamente colocar a letra “f”, mas é a letra mais utilizada para representar a função, beleza? Aqui é o seguinte. Quando eu tenho uma função “f”, eu jogo nessa função alguns valores que eu determino como sendo x, por exemplo. E quando eu jogo o valor x nessa função, ela vai me retornar um outro valor que vai ser a "f(x)". E, como a gente já falou em vídeos anteriores, a gente tem aqui todos os valores. O conjunto de todos os valores possíveis para esse valor de x é chamado de domínio da função. Então, aqui está o domínio dessa função “f”. Se eu pegar um valor dentro desse conjunto do domínio e jogar nessa função “f”, ela vai me retornar um valor "f(x)". Já se eu pegar um valor para o x fora do domínio, deixa eu fazer aqui em uma cor diferente, se eu pegar um valor aqui fora do domínio e tentar jogar lá nessa função, a função vai falar assim: "Espera aí. Eu não estou definida para esse valor de x aqui." E, portanto, é o seguinte. Quando eu pego o valor do domínio, jogo na função e retorna o "f(x)", eu vou ter aqui um outro conjunto com os possíveis resultados dessa "f(x)". E existe um nome específico para esse conjunto, dos valores que a gente joga o x e ele retorna esse valor "f(x)". Esse nome aqui é a imagem. Então, nós temos o conjunto imagem dessa função "f". A imagem então é o conjunto de todos os valores possíveis para "f(x)", beleza? Ou seja, eu jogo um valor x do domínio e retorna o valor "f(x)" que vai estar dentro desse conjunto imagem. Portanto, pegando esse exemplo aqui, que nós jogamos esse valor aqui dentro da função, vai me retornar um outro valor que vai estar, por definição, nesse conjunto imagem. Logo, esse conjunto é o conjunto de todos os valores possíveis todos os valores possíveis para a "f(x)". Agora, vamos parar de papo, de falar só de teoria e vamos partir para um exemplo prático. Então, se eu pegar aqui uma função "f", eu vou ter um determinado valor que eu vou jogar nessa função, que vou chamar de x e isso vai determinar um outro valor que vai ser o meu "f(x)". Então, digamos que eu queira que essa função "f", tem a função "f(x)", vai ser igual a um valor qualquer desse x que está elevado ao quadrado, beleza? E como revisão vamos determinar qual é o domínio dessa função. Como você já sabe muito bem, o domínio é o conjunto de todos os valores possíveis que o x pode assumir. Nesse caso, você pode perceber o x pode assumir qualquer número real. Então, o domínio vai ser todos os números reais. E agora? E a imagem dessa função, qual vai ser? A imagem da "f". Para facilitar o entendimento sobre a imagem, vamos fazer o gráfico dessa função "f(x)". Aqui eu vou ter "f(x)", eu tenho o eixo do x e o eixo do y. E esse gráfico da "f(x)", por ser uma função quadrática, vai ser uma parábola, que vai parecer com isso aqui. O vértice aqui na origem. E a parábola vai se parecer com isso daqui. Aqui o vértice da nossa parábola. Logo, esse gráfico aqui, posso dizer que é o gráfico da função y = "f(x)". E agora, será que através do gráfico a gente já consegue determinar qual é a imagem? A imagem é o conjunto de todos os valores possíveis para "f(x)". Todos os valores possíveis para "f(x)" ,nesse caso, estão todos na parte positiva do eixo do y. Então, eu vou pegar todos os números não negativos, na verdade porque tem o zero incluído também. O y aqui pode ser zero, pode ser 1, ele pode ser Pi (π), ele pode ser o número "e" (constante de Euler). Enfim, ele pode ser qualquer número não negativo, ou seja, do zero em diante. Do zero para cima. Porém, ele não pode assumir nenhum número negativo. Você percebe que o gráfico não vem para a parte negativa do eixo do y. E eu posso escrever esse conjunto imagem como sendo o quê? Eu vou colocar assim: "f(x)", são todos os valores do "f(x)", que pertencem aos números reais tal que essa "f(x)", como a gente pode perceber aqui, é sempre maior ou igual a zero. Posso escrever dessa maneira. E se eu quiser escrever de uma maneira menos matemática, menos formal, posso dizer simplesmente que "f(x)" vai ser maior ou igual a zero. Então, vai ser todo esse conjunto aqui de números que não são negativos, beleza? Tranquilinho, né? Agora vamos fazer aqui um outro exemplo só para gente ficar bem craque nessa determinação da imagem de uma função. Então, digamos que eu tenha uma função g(x) = x² sobre x. Você pode pensar assim: é muito fácil, muito simples. É só pegar esse x² e simplificar com o x de baixo. Então, eu teria que a g(x) = x. Só que não. Cuidado! Nesse caso aqui, não posso simplificar porque esse x, eu preciso fazer a restrição. Ele não pode ser igual a zero. Porque se esse x for igual a zero, eu teria 0 ÷ 0, que é indeterminado. Não tem como saber quanto vale 0 ÷ 0. E, portanto, para poder fazer essa simplificação, eu tenho que colocar a restrição que a g(x) só vai ser igual a x, se o x for diferente de zero. Sempre vai dar x, contanto que esse x nunca valha o zero, está claro? E dessa forma, essas duas definições da função "g(x)" são equivalentes e eu posso até fazer o gráfico dessa função. Vai ficar da seguinte maneira: Aqui é o eixo do x. Aqui está o eixo do y, que no caso estou considerando como "g". Então, vou colocar aqui a g(x). E o gráfico vai ficar da seguinte maneira. Eu vou ter um problema quando x for igual a zero e vai estar bem aqui na origem, eu vou colocar uma bolinha aberta porque não vai incluir esse valor. E esse gráfico vai fazer uma reta bem aqui assim, não incluindo esse valor ali no zero, na origem do plano cartesiano, está claro? E eu já posso determinar qual vai ser o domínio da minha função. O domínio vai ser todos os x pertencentes aos números reais, tal que o x tem que ser diferente de zero. Já determinei o meu domínio. E da mesma forma que eu determinei o domínio, já posso determinar o meu conjunto imagem. Conjunto imagem, você lembra muito bem, é o conjunto de todos os valores que a g(x) admite. Nesse caso, você percebe que ela não está admitindo valor 0. E neste caso aqui, vai ser a mesma coisa que do domínio. Só que eu tenho que colocar ali é "g(x)". A "g(x)" vai pertencer aos números reais, tal que essa "g(x)", vou mover um pouco pro lado, tem que ser diferente de zero. E, portanto, o grande objetivo desse vídeo era você perceber exatamente isso que o domínio é todos os valores possíveis que eu posso jogar dentro da função, enquanto os valores que a função me retorna compõem o conjunto imagem, beleza? Até o próximo vídeo!