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Álgebra intermediária (parte 1)

Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 8

Lição 13: Introdução às funções inversas
Matemática
Álgebra intermediária (parte 1)
Funções
Introdução às funções inversas
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Introdução às funções inversas

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Aprenda o que é a inversa de uma função e saiba como calcular inversas de funções que são dadas em tabelas ou gráficos.
Funções inversas, no sentido mais geral, são funções que "revertem" uma a outra.
Por exemplo, aqui vemos que a função f leva de 1 para x, de 2 para z, e de 3 para y.
Um diagrama de flechas. O diagrama está intitulado como f. A primeira forma oval contém os valores um, dois e três. A segunda forma oval contém os valores x, y e z. Há uma seta que sai do um e aponta para x. Há uma seta que sai do dois e aponta para z. Há uma seta que sai do três e aponta para y.
A inversa de f, denotada f−1 (e lida como "inversa de f"), vai inverter esse diagrama. A função f−1 leva de x para 1, de y para 3, e de z para 2.
Um diagrama de flechas. O diagrama está intitulado como inversa de f. A primeira forma oval contém os valores x, y e z. A segunda forma oval contém os valores um, dois e três. Há uma seta que sai de x e aponta para um. Há uma seta que sai de y e aponta para três. Há uma seta que sai de z e aponta para dois.
Pergunta para reflexão
Qual das opções a seguir é uma declaração verdadeira?
Escolha 1 resposta:

Definição de funções inversas

De forma geral, se uma função f leva de a para b, então a função inversa, f−1, leva de b para a.
O valor a é inserido na função f e se torna o valor B, o qual é inserido na inversa de f e se torna o valor A.
A partir disso, temos a definição formal de funções inversas:

f(a)=b⟺f−1(b)=a

Vamos nos aprofundar nessa definição trabalhando em alguns exemplos.

Exemplo 1: Diagrama de flechas

Um diagrama de flechas. O diagrama está intitulado como h. A primeira forma oval contém os valores zero, quatro, seis e nove. A segunda forma oval contém os valores três, sete, nove e doze. Há uma seta que sai de zero e aponta para sete. Há uma seta que sai do quatro e aponta para três. Há uma seta que sai do seis e aponta para nove. Há uma seta que sai do nove e aponta para doze.
Suponha que a função h seja definida pelo diagrama de flechas acima. Quanto é h−1(9)?

Solução

Temos informações sobre a função h e nos é perguntado sobre a função h−1. Como as funções inversas revertem umas as outras, precisamos reverter nosso pensamento.
Especificamente, para encontra h−1(9), podemos encontrar a entrada de h cuja saída é 9. Isso porque, se h−1(9)=x, então, pela definição de inversas, h(x)=9.
A partir do diagrama de flechas, vemos que h(6)=9, e assim h−1(9)=6.

Teste seu conhecimento

Um diagrama de flechas. O diagrama está intitulado como f. A primeira forma oval contém os valores um negativo, zero, três e cinco. A segunda forma oval contém os valores dois, três, quatro e oito. Há uma seta que sai de um negativo e aponta para três. Há uma seta que sai de zero e aponta para quatro. Há uma seta que sai do três e aponta para oito. Há uma seta que sai do cinco e aponta para dois.
Problema 1
g−1(3)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Exemplo 2: Gráfico

Esse é o gráfico da função g. Vamos encontrar g−1(−7).
Um plano cartesiano. O eixo x está em uma escala de zero vírgula cinco em zero vírgula cinco e o eixo y está em uma escala de um em um. A função y igual a g de x é uma curva contínua que começa em três negativo, sete negativo e sobe devagar até o ponto um negativo, cinco negativo. Então, a curva do gráfico sobe mais rápido e passa pelos pontos zero, cinco vírgula cinco negativo e um, três vírgula cinco negativo. Ela continua a subir mais rápido e passa pelos pontos dois, dois e três, dez.

Solução

Para encontrar g−1(−7), podemos encontrar a entrada de g que corresponde a uma saída de −7. Isso porque, se g−1(−7)=x, então, pela definição das inversas, g(x)=−7.
A partir do gráfico, vemos que g(−3)=−7.
Portanto, g−1(−7)=−3.
Um plano cartesiano. O eixo x está em uma escala de zero vírgula cinco em zero vírgula cinco e o eixo y está em uma escala de um em um. A função y igual a g de x é uma curva contínua que começa em três negativo, sete negativo e sobe devagar até o ponto um negativo, cinco negativo. Então, a curva do gráfico sobe mais rápido e passa pelos pontos zero, cinco vírgula cinco negativo e um, três vírgula cinco negativo. Ela continua a subir mais rápido e passa pelos pontos dois, dois e três, dez. Há uma linha vertical tracejada em x igual a três negativo e uma linha vertical tracejada em y igual a sete negativo. Essas linhas se interceptam no ponto três negativo, sete negativo, o qual está plotado e identificado.

Teste seu conhecimento

Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de zero vírgula cinco em zero vírgula cinco. A função y igual a h de x é uma linha reta que passa pelo ponto dois negativo, quatro, pelo ponto zero, três e pelo ponto dois, dois.
Problema 2
Qual é o valor de h−1(4)?
Escolha 1 resposta:

Desafio
Sabendo que f(x)=3x−2, qual é o valor de f−1(7)?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Uma conexão gráfica

Os exemplos acima nos mostraram a conexão algébrica entre uma função e sua inversa, mas também há uma conexão gráfica!
Considere a função f, dada no gráfico e em uma tabela de valores.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um em um. A função y igual a f de x é uma curva não linear que passa pelos seguintes pontos: o ponto dois negativo, um quarto, o ponto um negativo, um meio, o ponto zero, um, o ponto um, dois e o ponto dois, quatro.
xf(x)
−214
−112
01
12
24
Podemos inverter as entradas e saídas da função f para encontrar as entradas e saídas da função f−1. Assim, se (a,b) está no gráfico de y=f(x), então (b,a) estará no gráfico de y=f−1(x).
Isso nos dá esse gráfico e essa tabela de valores de f−1.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um em um. A função y igual à inversa f de x é uma curva não linear que passa pelos seguintes pontos: o ponto um quarto, dois negativo, o ponto um meio, um negativo, o ponto um, zero, o ponto dois, um e o ponto quatro, dois.
xf−1(x)
14−2
12−1
10
21
42
Olhando para os gráficos juntos, vemos que o gráfico de y=f(x) e o gráfico de y=f−1(x) são reflexões sobre a reta y=x.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em escala de um em um. Há uma linha curvada que representa a função y igual a f de x. A linha é a equação y igual a dois elevado à potência de x. Há outra linha curva que representa a função y igual a inversa de f de x. A segunda linha é uma reflexão da primeira linha curvada sobre a reta y igual a x.
Isso é verdadeiro em geral. O gráfico de uma função e sua inversa são reflexões sobre a reta y=x.

Teste seu conhecimento

Problema 3
Este é o gráfico de y=h(x).
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um em um. Há uma linha reta que representa a função y igual a h de x. A reta passa pelos pontos zero, dois negativo e seis, zero.
Qual é a melhor escolha para o gráfico de y=h−1(x)?
Escolha 1 resposta:

Problema 4
O gráfico de y=h(x) é um segmento de reta que liga os pontos (5,1) e (2,7).
Arraste as extremidades do sólido abaixo para representar y=h−1(x) graficamente.

Por que estudar inversas?

Pode parecer arbitrário estarmos interessados em funções inversas, mas elas são usadas o tempo todo!
Considere que a equação C=59(F−32) pode ser usada para converter a temperatura em graus Fahrenheit, F, para uma temperatura em graus Celsius, C.
Mas suponha que queiramos uma equação que faz o inverso – que converta uma temperatura em graus Celsius para uma temperatura em graus Fahrenheit. Isso descreve a função F=95C+32, ou a função inversa.
Em um nível mais básico, resolvemos muitas equações matemáticas "isolando a variável". Quando isolamos a variável, "desfazemos" o que está em torno dela. Dessa forma, estamos usando a ideia de funções inversas para resolver equações.

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