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Álgebra intermediária (parte 1)

Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 8

Lição 13: Introdução às funções inversas
Matemática
Álgebra intermediária (parte 1)
Funções
Introdução às funções inversas
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Introdução às funções inversas

Google Sala de Aula
Aprenda o que é a inversa de uma função e saiba como calcular inversas de funções que são dadas em tabelas ou gráficos.
Funções inversas, no sentido mais geral, são funções que "revertem" uma a outra.
Por exemplo, aqui vemos que a função f leva de 1 para x, de 2 para z, e de 3 para y.
Um diagrama de flechas. O diagrama está intitulado como f. A primeira forma oval contém os valores um, dois e três. A segunda forma oval contém os valores x, y e z. Há uma seta que sai do um e aponta para x. Há uma seta que sai do dois e aponta para z. Há uma seta que sai do três e aponta para y.
A inversa de f, denotada f, start superscript, minus, 1, end superscript (e lida como "inversa de f"), vai inverter esse diagrama. A função f, start superscript, minus, 1, end superscript leva de x para 1, de y para 3, e de z para 2.
Um diagrama de flechas. O diagrama está intitulado como inversa de f. A primeira forma oval contém os valores x, y e z. A segunda forma oval contém os valores um, dois e três. Há uma seta que sai de x e aponta para um. Há uma seta que sai de y e aponta para três. Há uma seta que sai de z e aponta para dois.
Pergunta para reflexão
Qual das opções a seguir é uma declaração verdadeira?
Escolha 1 resposta:

Definição de funções inversas

De forma geral, se uma função f leva de a para b, então a função inversa, f, start superscript, minus, 1, end superscript, leva de b para a.
O valor a é inserido na função f e se torna o valor B, o qual é inserido na inversa de f e se torna o valor A.
A partir disso, temos a definição formal de funções inversas:

f, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, b, \Longleftrightarrow, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, b, right parenthesis, equals, a

Vamos nos aprofundar nessa definição trabalhando em alguns exemplos.

Exemplo 1: Diagrama de flechas

Um diagrama de flechas. O diagrama está intitulado como h. A primeira forma oval contém os valores zero, quatro, seis e nove. A segunda forma oval contém os valores três, sete, nove e doze. Há uma seta que sai de zero e aponta para sete. Há uma seta que sai do quatro e aponta para três. Há uma seta que sai do seis e aponta para nove. Há uma seta que sai do nove e aponta para doze.
Suponha que a função h seja definida pelo diagrama de flechas acima. Quanto é h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis?

Solução

Temos informações sobre a função h e nos é perguntado sobre a função h, start superscript, minus, 1, end superscript. Como as funções inversas revertem umas as outras, precisamos reverter nosso pensamento.
Especificamente, para encontra h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, podemos encontrar a entrada de h cuja saída é 9. Isso porque, se h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, x, então, pela definição de inversas, h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 9.
A partir do diagrama de flechas, vemos que h, left parenthesis, 6, right parenthesis, equals, 9, e assim h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, 6.

Teste seu conhecimento

Um diagrama de flechas. O diagrama está intitulado como f. A primeira forma oval contém os valores um negativo, zero, três e cinco. A segunda forma oval contém os valores dois, três, quatro e oito. Há uma seta que sai de um negativo e aponta para três. Há uma seta que sai de zero e aponta para quatro. Há uma seta que sai do três e aponta para oito. Há uma seta que sai do cinco e aponta para dois.
Problema 1
g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exemplo 2: Gráfico

Esse é o gráfico da função g. Vamos encontrar g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis.
Um plano cartesiano. O eixo x está em uma escala de zero vírgula cinco em zero vírgula cinco e o eixo y está em uma escala de um em um. A função y igual a g de x é uma curva contínua que começa em três negativo, sete negativo e sobe devagar até o ponto um negativo, cinco negativo. Então, a curva do gráfico sobe mais rápido e passa pelos pontos zero, cinco vírgula cinco negativo e um, três vírgula cinco negativo. Ela continua a subir mais rápido e passa pelos pontos dois, dois e três, dez.

Solução

Para encontrar g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, podemos encontrar a entrada de g que corresponde a uma saída de minus, 7. Isso porque, se g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, equals, x, então, pela definição das inversas, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 7.
A partir do gráfico, vemos que g, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 7.
Portanto, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, equals, minus, 3.
Um plano cartesiano. O eixo x está em uma escala de zero vírgula cinco em zero vírgula cinco e o eixo y está em uma escala de um em um. A função y igual a g de x é uma curva contínua que começa em três negativo, sete negativo e sobe devagar até o ponto um negativo, cinco negativo. Então, a curva do gráfico sobe mais rápido e passa pelos pontos zero, cinco vírgula cinco negativo e um, três vírgula cinco negativo. Ela continua a subir mais rápido e passa pelos pontos dois, dois e três, dez. Há uma linha vertical tracejada em x igual a três negativo e uma linha vertical tracejada em y igual a sete negativo. Essas linhas se interceptam no ponto três negativo, sete negativo, o qual está plotado e identificado.

Teste seu conhecimento

Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de zero vírgula cinco em zero vírgula cinco. A função y igual a h de x é uma linha reta que passa pelo ponto dois negativo, quatro, pelo ponto zero, três e pelo ponto dois, dois.
Problema 2
Qual é o valor de h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 4, right parenthesis?
Escolha 1 resposta:

Desafio
Sabendo que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 2, qual é o valor de f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 7, right parenthesis?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Uma conexão gráfica

Os exemplos acima nos mostraram a conexão algébrica entre uma função e sua inversa, mas também há uma conexão gráfica!
Considere a função f, dada no gráfico e em uma tabela de valores.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um em um. A função y igual a f de x é uma curva não linear que passa pelos seguintes pontos: o ponto dois negativo, um quarto, o ponto um negativo, um meio, o ponto zero, um, o ponto um, dois e o ponto dois, quatro.
xf, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 2start fraction, 1, divided by, 4, end fraction
minus, 1start fraction, 1, divided by, 2, end fraction
01
12
24
Podemos inverter as entradas e saídas da função f para encontrar as entradas e saídas da função f, start superscript, minus, 1, end superscript. Assim, se left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis está no gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, então left parenthesis, b, comma, a, right parenthesis estará no gráfico de y, equals, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis.
Isso nos dá esse gráfico e essa tabela de valores de f, start superscript, minus, 1, end superscript.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um em um. A função y igual à inversa f de x é uma curva não linear que passa pelos seguintes pontos: o ponto um quarto, dois negativo, o ponto um meio, um negativo, o ponto um, zero, o ponto dois, um e o ponto quatro, dois.
xf, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis
start fraction, 1, divided by, 4, end fractionminus, 2
start fraction, 1, divided by, 2, end fractionminus, 1
10
21
42
Olhando para os gráficos juntos, vemos que o gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis e o gráfico de y, equals, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis são reflexões sobre a reta y, equals, x.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em escala de um em um. Há uma linha curvada que representa a função y igual a f de x. A linha é a equação y igual a dois elevado à potência de x. Há outra linha curva que representa a função y igual a inversa de f de x. A segunda linha é uma reflexão da primeira linha curvada sobre a reta y igual a x.
Isso é verdadeiro em geral. O gráfico de uma função e sua inversa são reflexões sobre a reta y, equals, x.

Teste seu conhecimento

Problema 3
Este é o gráfico de y, equals, h, left parenthesis, x, right parenthesis.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um em um. Há uma linha reta que representa a função y igual a h de x. A reta passa pelos pontos zero, dois negativo e seis, zero.
Qual é a melhor escolha para o gráfico de y, equals, h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis?
Escolha 1 resposta:

Problema 4
O gráfico de y, equals, h, left parenthesis, x, right parenthesis é um segmento de reta que liga os pontos left parenthesis, 5, comma, 1, right parenthesis e left parenthesis, 2, comma, 7, right parenthesis.
Arraste as extremidades do sólido abaixo para representar y, equals, h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis graficamente.

Por que estudar inversas?

Pode parecer arbitrário estarmos interessados em funções inversas, mas elas são usadas o tempo todo!
Considere que a equação C, equals, start fraction, 5, divided by, 9, end fraction, left parenthesis, F, minus, 32, right parenthesis pode ser usada para converter a temperatura em graus Fahrenheit, F, para uma temperatura em graus Celsius, C.
Mas suponha que queiramos uma equação que faz o inverso – que converta uma temperatura em graus Celsius para uma temperatura em graus Fahrenheit. Isso descreve a função F, equals, start fraction, 9, divided by, 5, end fraction, C, plus, 32, ou a função inversa.
Em um nível mais básico, resolvemos muitas equações matemáticas "isolando a variável". Quando isolamos a variável, "desfazemos" o que está em torno dela. Dessa forma, estamos usando a ideia de funções inversas para resolver equações.

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  • Avatar blobby green style do usuário brunamedeirosferreira01
    Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Gostaria de saber o passo...” de brunamedeirosferreira01
    Gostaria de saber o passo-a-passo da forma de resolução da seguinte questão:
    Dada a função invertível f(x)= 1/x-3,determine o conjunto imagem de sua inversa.
    Agradeço desde já.
    (1 voto)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
    • Avatar duskpin ultimate style do usuário Jeferson Dias
      Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “bom, ja que o problema pe...” de Jeferson Dias
      bom, ja que o problema pede a imagem da função, e a função é inversa de f(x), logo o dominio da f é a imagem da inversa de f, resolvendo f(x) = 1/x-3 , chegamos a conclusao que dominio dessa função e consequentemente a imagem da sua inversa sao todos os REAIS MENOS o 3
      (3 votos)
  • Avatar blobby green style do usuário Marina Vieira
    Publicado há há 3 anos. Link direto para a postagem “Se na equação eu já tiver...” de Marina Vieira
    Se na equação eu já tiver o X isolado eu não faço nada pra calcular a inversa né? Por exemplo f(x)= x² + x (considerando o intervalo x≥1/2
    (1 voto)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
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