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Álgebra intermediária (parte 1)
Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 8
Lição 13: Introdução às funções inversas- Introdução às funções inversas
- Introdução às funções inversas
- Entradas e saídas de funções inversas
- Representação gráfica da inversa de uma função linear
- Avalie funções inversas
- Como encontrar funções inversas: linear
- Cálculo das inversas de funções lineares
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Introdução às funções inversas
Aprenda o que é a inversa de uma função e saiba como calcular inversas de funções que são dadas em tabelas ou gráficos.
Funções inversas, no sentido mais geral, são funções que "revertem" uma a outra.
Por exemplo, aqui vemos que a função f leva de 1 para x, de 2 para z, e de 3 para y.
A inversa de f, denotada f, start superscript, minus, 1, end superscript (e lida como "inversa de f"), vai inverter esse diagrama. A função f, start superscript, minus, 1, end superscript leva de x para 1, de y para 3, e de z para 2.
Definição de funções inversas
De forma geral, se uma função f leva de a para b, então a função inversa, f, start superscript, minus, 1, end superscript, leva de b para a.
A partir disso, temos a definição formal de funções inversas:
f, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, b, \Longleftrightarrow, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, b, right parenthesis, equals, a
Vamos nos aprofundar nessa definição trabalhando em alguns exemplos.
Exemplo 1: Diagrama de flechas
Suponha que a função h seja definida pelo diagrama de flechas acima. Quanto é h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis?
Solução
Temos informações sobre a função h e nos é perguntado sobre a função h, start superscript, minus, 1, end superscript. Como as funções inversas revertem umas as outras, precisamos reverter nosso pensamento.
Especificamente, para encontra h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, podemos encontrar a entrada de h cuja saída é 9. Isso porque, se h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, x, então, pela definição de inversas, h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 9.
A partir do diagrama de flechas, vemos que h, left parenthesis, 6, right parenthesis, equals, 9, e assim h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, 6.
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Exemplo 2: Gráfico
Esse é o gráfico da função g. Vamos encontrar g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis.
Solução
Para encontrar g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, podemos encontrar a entrada de g que corresponde a uma saída de minus, 7. Isso porque, se g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, equals, x, então, pela definição das inversas, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 7.
A partir do gráfico, vemos que g, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 7.
Portanto, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, equals, minus, 3.
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Uma conexão gráfica
Os exemplos acima nos mostraram a conexão algébrica entre uma função e sua inversa, mas também há uma conexão gráfica!
Considere a função f, dada no gráfico e em uma tabela de valores.
x | f, left parenthesis, x, right parenthesis |
---|---|
minus, 2 | start fraction, 1, divided by, 4, end fraction |
minus, 1 | start fraction, 1, divided by, 2, end fraction |
0 | 1 |
1 | 2 |
2 | 4 |
Podemos inverter as entradas e saídas da função f para encontrar as entradas e saídas da função f, start superscript, minus, 1, end superscript. Assim, se left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis está no gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, então left parenthesis, b, comma, a, right parenthesis estará no gráfico de y, equals, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis.
Isso nos dá esse gráfico e essa tabela de valores de f, start superscript, minus, 1, end superscript.
x | f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis |
---|---|
start fraction, 1, divided by, 4, end fraction | minus, 2 |
start fraction, 1, divided by, 2, end fraction | minus, 1 |
1 | 0 |
2 | 1 |
4 | 2 |
Olhando para os gráficos juntos, vemos que o gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis e o gráfico de y, equals, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis são reflexões sobre a reta y, equals, x.
Isso é verdadeiro em geral. O gráfico de uma função e sua inversa são reflexões sobre a reta y, equals, x.
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Por que estudar inversas?
Pode parecer arbitrário estarmos interessados em funções inversas, mas elas são usadas o tempo todo!
Considere que a equação C, equals, start fraction, 5, divided by, 9, end fraction, left parenthesis, F, minus, 32, right parenthesis pode ser usada para converter a temperatura em graus Fahrenheit, F, para uma temperatura em graus Celsius, C.
Mas suponha que queiramos uma equação que faz o inverso – que converta uma temperatura em graus Celsius para uma temperatura em graus Fahrenheit. Isso descreve a função F, equals, start fraction, 9, divided by, 5, end fraction, C, plus, 32, ou a função inversa.
Em um nível mais básico, resolvemos muitas equações matemáticas "isolando a variável". Quando isolamos a variável, "desfazemos" o que está em torno dela. Dessa forma, estamos usando a ideia de funções inversas para resolver equações.
Quer participar da conversa?
- Gostaria de saber o passo-a-passo da forma de resolução da seguinte questão:
Dada a função invertível f(x)= 1/x-3,determine o conjunto imagem de sua inversa.
Agradeço desde já.(1 voto)- bom, ja que o problema pede a imagem da função, e a função é inversa de f(x), logo o dominio da f é a imagem da inversa de f, resolvendo f(x) = 1/x-3 , chegamos a conclusao que dominio dessa função e consequentemente a imagem da sua inversa sao todos os REAIS MENOS o 3(3 votos)
- Se na equação eu já tiver o X isolado eu não faço nada pra calcular a inversa né? Por exemplo f(x)= x² + x (considerando o intervalo x≥1/2(1 voto)