Como encontrar funções inversas: linear

RKA - "f(x) = -x + 4", e "f(x)" está representada no plano cartesiano. Vamos tentar descobrir a inversa de "f". Para fazer isso, digo que a variável "y" é igual a "f(x)", então podemos dizer que "y" é igual a "-x + 4". Até agora, encontramos o valor de "y" em relação a "x". Para encontrar a inversa, fazemos o contrário, encontramos o valor de "x" em relação a "y". Vamos subtrair 4 dos dois lados; ficamos com "y - 4 = -x". E, para encontrar "x", multiplicamos os dois lados da equação por "-1"; assim, a gente fica com "-y + 4 = x". E, como estamos acostumados a deixar a variável dependente do lado esquerdo, é só escrever que "x = -y + 4". Outra forma de escrever é "f ⁻¹(y) = -y + 4". Esta é a função inversa e a escrevemos como função de "y", mas dá para renomear o "y" como "x", para passar a ser função de "x". Se renomear o "y" como "x", ficamos com "f ⁻¹(x) = -x + 4". Essas duas funções são idênticas. Aqui usamos o "y" como variável independente, e aqui, o "x"; mas são funções idênticas. Agora, só por curiosidade, vamos representar a função inversa e ver como ela se relaciona a isto aqui. Se olhar para elas, a gente vai ver que são idênticas; é "-x + 4", exatamente a mesma função. Vejamos, a interceptação "y" é 4, então vai ser a mesma coisa, a função é o seu próprio inverso. Se fosse representar, ficaria em cima desta. Tem algumas formas de solucionar. No primeiro vídeo sobre função inversa, eu falei que uma função e sua inversa são um reflexo sobre a reta "y = x". Onde está a reta "y = x"? A reta "y = x" está aqui, e "-x + 4" é perpendicular à "y = x". Então, quando a refletimos, a viramos, mas vai ser a mesma reta, é seu próprio reflexo. Vamos ver se faz sentido. Quando estamos lidando com a função padrão aqui, se incluímos um 2, ele é mapeado para um 2. Se incluímos um 4, ele é mapeado para zero. E para o outro lado? Se incluímos um 2, ele é mapeado para 2 dos dois lados, faz sentido. Na função regular, 4 é mapeado para "0". Na função inversa, "0" é mapeado para 4; então, faz sentido. Vejamos de outra forma, vou escrever explicitamente. Pode ser óbvio, mas se não for, talvez ajude. Vamos escolher "f(5)". "f(5) = -1", ou a função "f" nos leva de 5 a "-1". O que a "f" inversa faz? Qual é a "f" inversa de "-1"? A "f" inversa de "-1" é 5, ou podemos dizer que "f" nos leva de "-1" para 5. De novo, se pensar em conjuntos, eles são nossos domínios e nossas imagens. Digamos que este seja o domínio de "f", e esta, a imagem de "f". "f" nos levará de 5 a "-1". Isto é o que a função "f" faz, e a "f" inversa nos leva de volta, de "-1" a 5. A "f" inversa nos leva de volta de "-1" a 5, como deveria fazer. Vamos fazer mais um. Aqui, tem "g(x) = -2x - 1". Como no último problema, vou dizer que "y" é igual a isso. "y = g(x)", que é igual a "-2x - 1". Agora, calculamos o valor de "x"; "y" mais 1 é igual a "-2x" (só somei 1 aos dois lados). Agora, dá para dividir os dois lados da equação por "-2"; assim, ficamos com "-y/2" menos "1/2". igual a "x" ou "x" é igual a "-y/2" menos 1/2", ou "f" inversa como função de "y" é igual a "-y/2" menos "1/2", ou podemos renomear "y" como "x" e dizer que "f" inversa de... (preciso ter cuidado... não deve ser "f"; a função original era "g", então, vou mudar)... é "g" inversa de "y", "g ⁻¹(y)", é igual a "-y/2" menos "1/2", porque começamos com uma "g(x)", não uma "f(x)". Ou podemos renomear o "y" e dizer que "g ⁻¹(x)" é igual a "-x/2" menos "1/2". Agora, vamos representar. A interceptação em "y" é "-1/2", bem aqui. E tem um coeficiente angular de "-1/2". Se começar em "-1/2" e for na direção do 1 positivo, descemos "1/2". Se mover mais 1, descemos mais "1/2". Vamos assim, a reta... (vou fazer o melhor possível... vai ficar mais ou menos assim)... Ela avançará assim nas duas direções. Vejamos se é mesmo um reflexo de "y = x". "y = x" é isto aqui. E dá para ver que elas são reflexos; se refletir essa reta azul, ela se torna essa reta laranja. Mas a ideia geral é que, em uma função original, encontramos o valor de "y" em relação a "x". Você faz os cálculos e encontra "x" em relação a "y", e é a sua função inversa como uma função de "y", e basta renomear como função de "x".