Introdução às funções inversas

RKA - Vamos pensar no que as funções fazem e depois pensar na ideia do inverso de uma função. Vamos começar com uma função simples. Digamos que "f(x) = 2x + 4". "f(2)" vai ser igual a 2 vezes 2 mais 4, o que dá 4 mais 4, que é igual a 8. Posso calcular "f(3)", que é 2 vezes 3 mais 4, que é igual a 10, certo? "6 + 4", 10. Agora, num sentido mais abstrato, há muitos números que posso incluir nessa função. O conjunto de todos esses números se chama domínio. O conjunto de elementos que posso incluir nessa função chama-se domínio. Neste domínio, o 2 está aqui, e o 3 está aqui. Você pode incluir qualquer número real nessa função. Vou criar um conjunto limitado para ajudar na visualização. Quando aplicamos a função, vamos pensar no que significa calcular "f(2)". Vamos incluir o número 2 e a função gera o número 8, ou seja, a imagem de 2 é 8. Vamos fazer outro conjunto de todos os valores possíveis que minha função pode assumir. E dá para chamar de contradomínio. Tem maneiras mais formais de ensinar, e vai haver uma discussão muito mais rigorosa adiante, principalmente, em álgebra linear. Agora, é só para dar uma ideia. Se pego o número 2 no domínio e o incluo na função, sua imagem será o número 8. Vou desenhar. Passamos de 2, para o número 8 aqui. Isso é feito pela função. A função gera a imagem; a função nos leva de 2 para 8. Isso aqui é igual a "f(2)". Mesma ideia: se começamos com o 3, a imagem de 3 é 10. Crie uma associação, a função nos leva de 3 para 10. E isso gera uma pergunta interessante. Tem uma forma de voltar do 8 ao 2? Ou de voltar do 10 ao 3? Ou tem alguma outra função, que chamaremos de inversa de "f", que nos leve de volta? Tem alguma outra função que nos leve de 10 para 3? A gente vai chamar de inversa de "f". A usaremos como notação. "f ⁻¹", ela nos levará do 10 ao 3. Tem como fazer isso? Essa mesma inversa de "f" nos levará de volta. Se calcular "f(8)", ela nos levará de volta ao 2? A inversa de "f", se calcular f(8), ela nos levará de volta ao 2. Tudo isso parece muito abstrato e difícil, mas é muito fácil encontrar o valor da inversa de "f" e acho que, quando fizer, tudo vai ficar claro. A função nos leva de 2 para 8 e a inversa nos leva de 8 para 2. Para fazer isso, vamos definir que "y = f(x)". "y = f(x)", que é igual a "2x + 4". Posso escrever "y = 2x + 4". E esta é a nossa função: para cada número "x", ela dá um "y". Mas queremos fazer o contrário, queremos dar um "y" e obter um "x". Tem que achar o valor de "x" em função de "y". Se subtrair 4 dos dois lados da equação... (vou trocar de cor)... se subtrair 4 dos dois lados, ficamos com "y - 4 = 2x". E, se dividir os dois lados da equação por 2, ficamos com "y/2 - 2" ("4/2" é 2) igual a "x". Ou dá para trocar os lados e ficamos com um "x" é igual a " ½y", que é igual a "y/2 - 2". O que tem aqui é uma função de "y" que nos dá um "x", que é exatamente o que queremos, uma função desses valores, que nos leve de volta a um "x". Dá para falar que é igual a... (vou usar a mesma cor)... é igual a inversa de "f" como função de "y". Vou escrever de forma mais clara: "f ⁻¹(y)". Agora, o contradomínio é o domínio de inversa de "f". A inversa de "f" como função de "y" é igual a "½y - 2". A gente só começa com nossa função original, "y = 2x + 4", encontramos o valor de "y" em função de "x". Depois, usamos um pouco de álgebra, achamos "x" em função de "y" e a gente fala que esta é a nossa inversa da função "f", que está bem aqui. E pode substituir o "y" por um "a", um "b", um "x"... o que queira. Depois pode renomear "y" como "x", incluindo um "x" nesta função. Obtemos a inversa de f(x), que é igual a "½x -2". Basta achar o valor de "x" e trocar o "y" e o "x". Se quiser visualizar assim, é a forma mais simples. Quero chamar a atenção para o que acontece quando representamos graficamente a função e sua inversa. Eu vou rascunhar um gráfico aqui. Depois, vou dar exemplos de cálculo de inversas, mas só quero dar uma ideia geral. A função nos leva do domínio ao contradomínio; a inversa nos leva desse ponto ao valor original, se ele existir. Para representar isso, vou desenhar um plano cartesiano. Esta primeira função, "2x + 4", sua interceptação em "y" vai ser... um, dois, três, quatro, bem assim... e seu coeficiente angular vai ser assim. O coeficiente é 2, então vai ficar, mais ou menos... (deixa eu caprichar mais, né?)... vai ser, mais ou menos, assim. Esta é a aparência desta função. E essa função aqui? A função inversa enquanto função de "x"? Achamos o valor de "x", depois trocamos o "x" pelo "y". Dá para falar que "y" é igual a função inversa de "x". A interceptação em "y", é em "-2" (um, dois). E o coeficiente angular é "1/2", o coeficiente angular fica assim. Deixa eu tentar desenhar. A reta vai ficar, mais ou menos, assim. Qual é a relação aqui? Elas parecem se relacionar, parecem que são um reflexo uma da outra, e isso fica mais evidente se desenhar a reta "y = x". A reta "y" é igual a "x" fica assim (vou fazer pontilhada). A reta "y = x" passa por aqui. Como pode ver, a gente tem a função "f" e sua inversa. E elas são reflexos a partir da reta "y = x". Espero que tenha entendido por que nesta reta... vamos pegar um exemplo simples... a nossa função, quando pegamos "0", "f(0) = 4". Nossa função vai de "0" a 4. A função inversa, se pegar a inversa de "f(4)", "f ⁻¹(4) = 0", ou a função inversa nos leva de 4 para "0", que é exatamente o que esperávamos. A função nos leva do "x" para o "y", depois invertemos o "x" e o "y" para achar a inversa. É por isso que os gráficos são reflexos. Esse exemplo que acabei de mostrar, a função nos leva de "0" para 4 (vou trocar de cor). A função nos leva do "0" ao 4. Esta é a função "f(0)" é 4, dá para ver aqui. Então, vai do 0 ao 4. E a inversa nos leva de volta do 4 para o "0". A inversa de"f" nos leva de volta do 4 para o "0". Vimos isso aqui, quando calculamos para "x = 4". Aqui, "1/2" vezes 4 menos 2 dá "0". Nos próximos vídeos vou dar vários exemplos para que entenda melhor e consiga fazer os exercícios do nosso site.