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Álgebra intermediária (parte 1)
Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 8
Lição 13: Introdução às funções inversas- Introdução às funções inversas
- Introdução às funções inversas
- Entradas e saídas de funções inversas
- Representação gráfica da inversa de uma função linear
- Avalie funções inversas
- Como encontrar funções inversas: linear
- Cálculo das inversas de funções lineares
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Introdução às funções inversas
Neste vídeo, explicamos o que são funções inversas. Depois, explicamos como calcular algebricamente a inversa de uma função e analisamos a relação gráfica entre funções inversas. Versão original criada por Sal Khan.
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- Emnão entendi esse método de contas que ele fez 4:04(1 voto)
- No Brasil estamos acostumados a "passar" os números para um lado ou outro da equação, mas outra forma de resolver é esse ali. Se você tem x=3x-4, voce soma 3x dos dois lados para que o "-3x"se cancele do lado direito.(11 votos)
- Imagem é o mesmo que Contra-domínio? É só uma maneira de dizer a mesma coisa?(1 voto)
- Não é o mesmo! Imagem são os elementos do contradomínio que estão associados a algum elemento do domínio por uma função.
Ou seja, pode haver elementos no contradomínio que não estão associados a nenhum elemento do domínio. (:(6 votos)
Transcrição de vídeo
RKA - Vamos pensar no que as funções fazem e
depois pensar na ideia do inverso de uma função. Vamos começar com uma função
simples. Digamos que "f(x) = 2x + 4". "f(2)" vai ser igual a 2 vezes 2 mais 4, o que dá 4 mais 4, que é igual a
8. Posso calcular "f(3)", que é 2 vezes 3 mais 4, que é
igual a 10, certo? "6 + 4",
10. Agora, num sentido mais abstrato, há muitos
números que posso incluir nessa função. O conjunto de todos esses
números se chama domínio. O conjunto de elementos que posso
incluir nessa função chama-se domínio. Neste domínio, o 2
está aqui, e o 3 está aqui. Você pode incluir qualquer
número real nessa função. Vou criar um conjunto limitado
para ajudar na visualização. Quando aplicamos a função, vamos
pensar no que significa calcular "f(2)". Vamos incluir o número 2
e a função gera o número 8, ou seja, a imagem de 2 é 8. Vamos fazer outro conjunto de todos os valores possíveis que minha função pode assumir. E dá para chamar
de contradomínio. Tem maneiras mais
formais de ensinar, e vai haver uma discussão muito mais rigorosa
adiante, principalmente, em álgebra linear. Agora, é só para dar uma ideia. Se pego o número 2 no domínio e o incluo
na função, sua imagem será o número 8. Vou desenhar. Passamos de 2, para o número 8 aqui. Isso é feito pela função. A função gera
a imagem; a função nos leva de 2 para 8. Isso aqui é igual a "f(2)". Mesma ideia: se começamos
com o 3, a imagem de 3 é 10. Crie uma associação, a
função nos leva de 3 para 10. E isso gera uma
pergunta interessante. Tem uma forma de voltar do 8
ao 2? Ou de voltar do 10 ao 3? Ou tem alguma outra função, que chamaremos
de inversa de "f", que nos leve de volta? Tem alguma outra função
que nos leve de 10 para 3? A gente vai chamar de inversa
de "f". A usaremos como notação. "f ⁻¹", ela nos levará do 10 ao 3. Tem como fazer isso? Essa mesma inversa de
"f" nos levará de volta. Se calcular "f(8)", ela nos levará
de volta ao 2? A inversa de "f", se calcular f(8), ela nos
levará de volta ao 2. Tudo isso parece muito abstrato e difícil, mas é muito fácil
encontrar o valor da inversa de "f" e acho que, quando fizer, tudo
vai ficar claro. A função nos leva de 2 para 8 e a inversa nos leva de 8
para 2. Para fazer isso, vamos definir que "y = f(x)". "y = f(x)", que é igual a "2x + 4".
Posso escrever "y = 2x + 4". E esta é a nossa função: para cada número "x",
ela dá um "y". Mas queremos fazer o contrário, queremos dar um "y" e obter um "x". Tem
que achar o valor de "x" em função de "y". Se subtrair 4 dos dois
lados da equação... (vou trocar de cor)... se subtrair 4 dos dois lados,
ficamos com "y - 4 = 2x". E, se dividir os dois lados da
equação por 2, ficamos com "y/2 - 2" ("4/2" é 2) igual a "x". Ou dá para trocar os
lados e ficamos com um "x" é igual a " ½y", que é
igual a "y/2 - 2". O que tem aqui é uma função
de "y" que nos dá um "x", que é exatamente o que queremos, uma função
desses valores, que nos leve de volta a um "x". Dá para falar que é igual a...
(vou usar a mesma cor)... é igual a inversa de "f"
como função de "y". Vou escrever de forma mais clara:
"f ⁻¹(y)". Agora, o contradomínio é o domínio de inversa de "f". A inversa
de "f" como função de "y" é igual a "½y - 2". A gente só começa com nossa função original, "y = 2x + 4", encontramos o valor de "y" em função de "x". Depois, usamos um pouco de álgebra, achamos "x"
em função de "y" e a gente fala que esta é a nossa inversa da função "f",
que está bem aqui. E pode substituir o "y" por um "a", um "b",
um "x"... o que queira. Depois pode renomear "y" como "x", incluindo um "x" nesta função.
Obtemos a inversa de f(x), que é igual a "½x -2". Basta achar o valor de "x" e trocar o "y" e o "x".
Se quiser visualizar assim, é a forma mais simples. Quero chamar a atenção para o que acontece quando representamos graficamente a função e sua inversa. Eu vou rascunhar
um gráfico aqui. Depois, vou dar exemplos de cálculo de inversas, mas só quero dar uma ideia geral.
A função nos leva do domínio ao contradomínio; a inversa nos leva desse ponto
ao valor original, se ele existir. Para representar isso, vou
desenhar um plano cartesiano. Esta primeira função, "2x + 4", sua interceptação
em "y" vai ser... um, dois, três, quatro, bem assim... e seu coeficiente angular vai
ser assim. O coeficiente é 2, então vai ficar, mais ou menos... (deixa eu caprichar mais, né?)... vai ser, mais ou menos, assim.
Esta é a aparência desta função. E essa função aqui? A função inversa enquanto
função de "x"? Achamos o valor de "x", depois trocamos o "x" pelo "y". Dá para falar que "y" é igual a função inversa de "x". A interceptação em "y", é em "-2" (um, dois). E o coeficiente angular
é "1/2", o coeficiente angular fica assim. Deixa eu tentar desenhar. A reta
vai ficar, mais ou menos, assim. Qual é a relação aqui? Elas parecem se relacionar, parecem
que são um reflexo uma da outra, e isso fica mais evidente
se desenhar a reta "y = x". A reta "y" é igual a "x"
fica assim (vou fazer pontilhada). A reta "y = x" passa por aqui. Como
pode ver, a gente tem a função "f" e sua inversa. E elas são
reflexos a partir da reta "y = x". Espero que tenha entendido
por que nesta reta... vamos pegar um
exemplo simples... a nossa função, quando pegamos "0", "f(0) = 4". Nossa função vai de "0" a 4.
A função inversa, se pegar a inversa de "f(4)", "f ⁻¹(4) = 0", ou a função
inversa nos leva de 4 para "0", que é exatamente o que esperávamos.
A função nos leva do "x" para o "y", depois invertemos o "x" e o "y" para achar a inversa.
É por isso que os gráficos são reflexos. Esse exemplo que acabei de mostrar,
a função nos leva de "0" para 4 (vou trocar de cor). A função nos leva do "0" ao 4. Esta é a função "f(0)" é 4, dá
para ver aqui. Então, vai do 0 ao 4. E a inversa nos leva
de volta do 4 para o "0". A inversa de"f" nos leva de volta do 4 para o "0".
Vimos isso aqui, quando calculamos para "x = 4". Aqui, "1/2" vezes 4 menos 2 dá "0".
Nos próximos vídeos vou dar vários exemplos para que entenda melhor e
consiga fazer os exercícios do nosso site.