Entradas e saídas de funções inversas

RKA - Eu imagino que agora você está familiarizado com esse tipo de noção de função aqui. Se eu te der uma tabela com alguns valores e disser que é uma função, você será capaz de avaliar essa função. Por exemplo, se eu te perguntar quanto é a "f(-9)", você pode ser capaz de vir aqui e pensar assim: ora, o "x = -9". Então, essa função aqui, para quando o "x" vale "-9", vale quanto? Vale 5. Então, a "f(-9)" aqui vai ser 5. E eu imagino também que você já está familiarizado com o conceito de função composta. Por exemplo, se eu te perguntar aqui quanto é a "f(f(-9) + 1)". É um pouco estranho isso daqui, mas dá pra fazer também. "f(-9)" eu sei que é igual a 5, então isso daqui dá igual a 5. Logo, eu vou ter a "f(5 + 1)", que é "f(6)" (vou escrever aqui "f(6)"). E quanto vale a "f(6)"? Analisando a nossa tabela aqui (essa tabela é a nossa função), então, quando "x" vale 6, a nossa função vale "-7". Então, "f(6) aqui é igual "-7". E o que eu quero fazer agora aqui é começar a analisar o inverso dessa função. E nesse caso aqui essa função "f(x)" é inversível, pois eu tenho aqui uma correspondência biunívoca, ou seja, para cada valor do "x" aqui eu tenho um único "y" (claro), ou seja, eu não tenho 2 valores do "x" aqui indo para o mesmo "y". Concorda comigo? Então, com isso em mente, vamos tentar aqui responder, por exemplo, quanto é a inversa dessa função para o 8. E, agora, eu te encorajo a pausar o vídeo e tentar você resolver primeiro. Vamos lá. O que eu tenho aqui é o seguinte: o meu domínio daquela "f(x)" ali... eu vou pegar um valor do domínio e ele vai estar correspondendo a exatamente um valor lá no contradomínio, que é a imagem desse domínio aqui. Então, digamos que aqui é o que a "f" faz (eu aplico esse valor e tenho esse), aqui é o meu domínio, e aqui eu tenho a imagem. Agora, a função inversa é o seguinte: ela vai pegar um valor da imagem e vai levar até um valor do domínio. Isso aqui é o que a "f ̄ ¹" faz. E aqui você percebe o seguinte: eu quero calcular quanto é a inversa dessa função aqui para o 8. Aqui, no caso, seria o nosso 8 porque o 8 ele está na nossa imagem aqui. Então, qual é o valor do "x" para quando a função vale 8? Ela é 9, certo? E, aí, quando eu fizer o inverso disso, eu vou partir do 8 para chegar no 9. Logo, eu posso dizer que a função inversa para esse 8 aqui vai ser igual a 9. Está aí. Deixa eu só vou colocar isso daqui na mesma cor. Beleza. Então, a partir daqui eu posso fazer uma outra tabela para essa nossa função inversa. Aqui eu vou dizer que eu vou levar do "x" até a função inversa aqui para esse "x", certo? Bem, se a "f(x)" leva o "-9" no 5, a inversa vai levar o 5 no "-9". Ela faz exatamente o contrário. Isso daqui eu ia daqui para cá. Agora, eu faço o contrário, eu vou daqui para cá, certo? Então, a "f ̄ ¹(7)" vai me levar para o "-7". Então, aqui, 7 leva no "-7". Da mesma forma, essa função inversa aqui vai me levar do 13 para o 5. Então, 13 vai para o 5. E da mesma forma vai me mapear o "-7" lá no "6" (então, "-7" no 6); 8 no 9 (então, 8 no 9 aqui); e, finalmente, aqui 12 no 11 (do 12 vai para o 11). Então, tudo o que foi feito aqui, foi simplesmente trocar a ordem dessa tabela aqui para essa tabela aqui, certo? Perceba aqui: eu estou levando agora o elemento daqui para lá. Por exemplo, então, se eu fizer a função inversa para o 8, eu vou obter o 9. Você percebe que eu simplesmente troquei de lado esses números aqui nas tabelas. E a partir do momento que eu aprendo a fazer isso daqui, eu posso fazer coisas mais interessantes. Por exemplo, digamos que eu queira avaliar aqui o valor da função da "f(f ̄ ¹)", da inversa ali, para o 7. Quanto isso daqui vai ser? Ora, a função inversa aqui para o 7, ela está me levando do 7 para o "-7". E, aí, eu posso escrever que isso daqui vai ser a mesma coisa, então, que a "f(..." de... vou fazer aqui de amarelo... a "f(-7)", que é o valor da "f ̄ ¹(7)" aqui. E, aí, quando eu calcular agora a "f(-7)", isso vai me dar exatamente isso daqui, "f(-7)" dá igual a 7. Olha aí. E isso faz todo o sentido. Por quê? Porque a função inversa aqui no 7 vai me levar desse para esse. Aí, depois, eu aplico a função no "-7"; essa função normal aqui, que vai levar desse para esse de volta. Logo, eu retorno ali para aquele número, eu faço duas vezes esse caminho. Vamos, agora, fazer aqui mais 1. Nesse caso, eu vou mudar a cor aqui. Vamos fazer agora a "f ̄ ¹(f ̄ ¹(...", olha aí, de 13. O que que isso daqui então vai dar igual? Eu te encorajo, agora, a pausar o vídeo e [peço] para você pensar um pouquinho sobre isso daqui. O que que isso daqui vai ser? Pois bem, o que que é a "f ̄ ¹(13)" aqui, a função inversa no 13? Bom, isso aqui vai me levar do 13 lá para o 5, certo? A função original me levava do 5 para o 13, a inversa vai fazer o contrário disso, vai me levar do 13 para o 5. Então, esse valor aqui de dentro do argumento vai me dar igual a 5. Logo, eu tenho que calcular a "f ̄ ¹(5)" aqui. E aí, agora, o que eu quero calcular é a função inversa aqui para esse 5. E você percebe que essa função inversa para o 5 vai me levar para o "-9". Então, o valor disso daqui vai ser igual a "-9". Você percebe novamente que a função original me leva do "-9" para o 5. Então, o inverso disso vai me levar do 5 para o "-9", como nós colocamos nessa tabela aqui. Daí, é o seguinte, quando você começa a fazer essas coisas aqui, você pode achar um pouco confuso, mas é só você sempre se lembrar da seguinte coisa: quando eu calculo a função, eu pego um elemento de um conjunto e levo em outro conjunto, certo? Quando eu faço o inverso disso, a função inversa, eu faço o caminho contrário, eu vou desse conjunto de chegada aqui para o conjunto de partida, está certo? E, portanto, se uma função vai do 9 para o 8, a função inversa disso vai do 8 para o 9. E eu espero que tudo isso que eu falei tenha melhorado a sua compreensão sobre as funções inversas. Até o próximo vídeo.