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Prova: √2 é irracional

Prova que a raiz quadrada de 2 é um número irracional, ou seja, ela não pode ser dada como a razão de dois números inteiros. Versão original criada por Sal Khan.

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  • Avatar aqualine ultimate style do usuário Louise Galluccio
    Gente, uma dúvida: números coprimos não tem nada a ver com o MDC, certo ou errado?? Uma vez que primos entre si tem a penas o n.º 1 como divisor comum, e o MDC pode ser um número maior ou igual a um. (?)
    (2 votos)
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    • Avatar hopper jumping style do usuário Lucas De Oliveira
      Por definição, números primos entre si são exatamente aqueles cujo MDC é igual a 1. É uma definição interessante, uma vez que se você decompor dois ou mais números em fatores primos simultaneamente, isto é, dividi-los somente pelos números que dividem ambos: por um lado você terá que o produto dos divisores conseguidos será exatamente o MDC desses números.Por outro lado, os números resultantes da decomposição serão, por isso, primos entre si - uma vez que o máximo divisor comum restante será 1. Além disso, o produto desses números multiplicado pelo MDC obtido resultará exatamente no MMC: o que faz sentido, já que a × b = mmc(a, b) mdc(a, b) .
      Exemplo: Decompondo 2100 e 198 temos:
      2100 198 por 2 =
      1050 99 por 3 =
      350 33 por 1 =
      350 33 . Logo, primos entre si. Assim, 3*2=6=MDC de 2100 e 198 e MDC( 350*33) = 6*350*33 =69300 = MMC de 2100 e 198.
      Espero ter ajudado. Qualquer coisa estamos ai. Bons estudos!
      (4 votos)
  • Avatar starky sapling style do usuário James Taylor
    Uma coisa que não entendi. A fração ser ou não irredutível afeta em que a comprovação de ser um racional?
    (2 votos)
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  • Avatar female robot ada style do usuário Karem Silva
    Esse vídeo é muito confuso, ele supõe que raiz de 2 é racional e dá voltas e voltas, por que não explicou o porquê da raiz de 2 ser irracional logo de uma vez?
    (2 votos)
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    • Avatar hopper happy style do usuário jeangaldi
      Bem que tem um livro inteiro pra falar o porquê do 1+1 ser 2, então um vídeo longo pra falar que raiz de 2 é irracional nem é tão cansativo
      (1 voto)
  • Avatar blobby green style do usuário Edlaine Pereira
    devemos multiplicar o próprio número por ele mesmo e tem que dar o número que estar dentro da raiz.
    (1 voto)
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  • Avatar blobby green style do usuário patrick
    Em ele diz q os dois tem 2 como fator comum, mas é o K? Os dois tem K tbm...
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  • Avatar aqualine ultimate style do usuário Ricardo Leal
    Em , o número a só é 2k porque antes ele estava elevado ao quadrado, então não faz sentido elevar 2k ao quadrado - (2k)² - já que 2k já é e nem é possível afirmar que "a" é par naquele momento (novamente, ele só é par ali porque antes ele estava elevado ao quadrado).
    Desculpe à Khan academy, mas na minha eterna ignorância, isso não fez sentido algum pra mim.
    (1 voto)
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  • Avatar hopper jumping style do usuário cesarmax10
    a partir de não faz sentido, ele afirma que "a/b" não tem denominador comum, mas no fim do video ele diz que tanto "a" como "b" é positivo, se são positivos eles tem denominador comum!
    (1 voto)
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Transcrição de vídeo

RKA - Nesse vídeo, eu quero provar que a raiz quadrada de 2 é irracional. E vou fazer através de uma prova por contradição. A prova por contradição é preparada assumindo o oposto. Este é o nosso objetivo. Mas, para o bem da nossa prova, vamos assumir o oposto. Vamos assumir que a raiz quadrada de 2 é racional e ver se leva a uma contradição; que, na verdade, não pode ser o caso. E, se não pode ser o caso de que é racional, se chegar a uma contradição, supondo que a raiz quadrada de 2 é racional, a gente tem que deduzir que a raiz quadrada de 2 deve ser irracional. Então, vamos assumir o oposto: a raiz quadrada de 2 é racional. Bom, se a raiz quadrada de 2 é racional, significa que podemos escrever a raiz quadrada de 2 como a razão de dois inteiros, "a" e "b". E também dá para assumir que eles não possuem fatores em comum. Digamos que eles tinham alguns fatores em comum. Se dividir o numerador e o denominador por aqueles mesmos fatores, então está chegando numa situação onde eles não têm fatores em comum. Outra forma de dizer é que "a" e "b" são coprimos. Outra forma de dizer é que a gente pode escrever como uma razão de dois inteiros onde é irredutível e esses não compartilham mais nenhum fator. Se conseguir escrever qualquer coisa como a razão de dois inteiros, então pode obviamente simplificar, e mais tarde fatorar qualquer fator comum para obter em um ponto onde é irredutível. Vou assumir que meu "a" e "b" desta fração é irredutível. E isso é importante para preparar nossa contradição. Vou assumir que é irredutível. "a" e "b" não possuem fatores em comum. Deixa eu escrever embaixo, porque é muito importante para essa prova. "a" e... (deixa fazer da mesma cor)... "a" e "b" não possuem outros fatores em comum. Além de, acho, 1. Então é irredutível. Estes dois números são coprimos. O que isso significa para a gente? A gente vai tentar manipular um pouco. Vamos colocar ao quadrado os dois lados dessa equação. Então, se colocar a principal raiz de 2 ao quadrado, irá obter 2. E vai ser igual a "a²" sobre "b²". E vendo "(a/b)²", que é a mesma coisa que "a²/b²". Agora podemos multiplicar os dois lados por "b²", e assim obtemos: 2 vezes "b²" é igual a "a²". O que isso nos diz sobre "a²"? "a²" é algum número, "b²" vezes 2. Qualquer coisa vezes 2 vai ser o inteiro. Supomos que "b" é um inteiro. Então, "b²" deve ser um inteiro. E você tem um inteiro vezes 2, e isso deve te dar um número par. Isso deve te dar um número inteiro par. Um "a²" deve ser... o "a²" deve ser par. Por que é interessante? Um quadrado é o produto de dois números ou é o produto do mesmo número, é "a" vezes "a". Essa é outra forma de dizer que "a" vezes "a" é par. O que isso nos diz sobre "a"? Vamos apenas lembrar: "a" pode ser... estamos supondo que "a" é um inteiro, "a" pode ser par ou ímpar. A gente tem que lembrar que, se multiplicar um número par vezes um número par, obtemos um número par. Se multiplicar um ímpar vezes um ímpar, obtemos um número ímpar. Tenho um número vezes ele mesmo. Obtemos um número ímpar, a única maneira de obter aquilo é se aquele número for par. Então, isso nos diz que "a" é par. E outra forma de dizer que "a" é par, é dizer que "a" pode ser representado como o produto de 2 vezes algum inteiro. Digamos que algum inteiro "k" Bom, e onde é que a gente vai chegar? Como vai ver, a gente pode usar para mostrar que "b" também deve ser par. Então, vamos pensar nisso um pouco. Vamos voltar a este passo aqui. Se disser que "a" pode ser representado como duas vezes o produto de algum inteiro, e que vem do fato de que "a" é par, dá para reescrever essa expressão como 2 vezes b² é igual a "(2k)². Em vez de "a²", posso escrever "(2k)²". Estamos dizendo, ou deduzindo, que supondo que tudo que acabamos de assumir, que "a" é par. Se "a" é par, pode ser representado como um produto de 2 e algum inteiro. E dá para escrever que dois vezes "b²" é igual a "4k²". E, divide os dois lados por 2, e obtém "b²" é igual a "2k²". E nos diz que... bom, "k²" será um inteiro. Você pega qualquer inteiro vezes 2 e vai obter um valor par, e nos diz que "b²" é par. Diz que "b²" é par. Se "b²" é par, pela mesma lógica que acabamos de usar, isso nos diz que "b" é par. Então, aqui está nossa contradição. Assumimos, no começo, que "a" e "b" não possuem fatores em comum além do 1. Assumimos que esta fração, "a/b", é irredutível. Mas disto, e do fato de que "a"/b" deve ser igual a raiz quadrada de 2, conseguimos deduzir que "a" é par e "b" é par. Se "a" é par e "b" é par, e os dois têm 2 como um fator, então não é irredutível. Você pode dividir o numerador e o denominador por 2. "a" e "b" possuem um fator comum de 2. Apenas para deixar claro: então, disto e disto, temos que "a" e "b" com o fator... este fator comum de 2, que significa que "a/b" é redutível e esta é a contradição. Você assume que uma raiz quadrada de 2 pode ser representada como uma fração irredutível de "a/b" irredutível, porque pode dizer que a razão de dois inteiros, que leva à contradição (que, na verdade, pode ser redutível). Portanto, não pode fazer essa suposição. Isto leva uma contradição: a raiz quadrada de 2 deve ser irracional.