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Álgebra intermediária (parte 1)
Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 14
Lição 2: Resolução e representação gráfica com a forma fatorada- Propriedade do produto nulo
- Propriedade do produto nulo
- Gráfico de funções do segundo grau na forma fatorada
- Gráfico de funções do segundo grau na forma fatorada
- Problemas com expressões do segundo grau (forma fatorada)
- Problemas com expressões do segundo grau (forma fatorada)
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Gráfico de funções do segundo grau na forma fatorada
Um exemplo de função de segundo grau na forma fatorada é y=½(x-6)(x+2). Podemos analisar essa forma para encontrar o valor das interceptações em x do gráfico, e também o valor do vértice.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Esboce o gráfico de f(x) igual a ½ de (x -6)
vezes (x mais 2). O estudante pode ficar tentado a fazer essa multiplicação (aqui nós temos uma equação do segundo grau,
ou melhor, uma função do segundo grau), podemos atribuir valores a x, descobrir qual é o valor da função
e sair plotando no gráfico. Existe uma maneira mais fácil.
Nós vimos em vídeos anteriores. Podemos descobrir os zeros da função
e também o vértice da função. Como é que nós descobrimos os zeros da função? Como aqui é uma multiplicação,
basta que este termo seja igual a zero ou este termo seja igual a zero. ½ não vai ser igual a zero.
½ é ½. Portanto, na hora em que
descobrirmos o zero da função, vamos saber qual ponto em que a função intercepta
o eixo da abcissa, que é o x, ou seja, as raízes da função. Então vamos fazer x menos seis igual a zero
ou x mais 2 igual a zero. x menos 6 igual a zero, somando 6 de ambos os lados,
nós vamos ter x igual a 6, ou x, subtraindo 2 de ambos os lados,
nós vamos ter x igual a -2, ou seja, colocando x igual a -2 esse termo é zero,
portanto toda a função fica zero. Colocando x igual a 6, esse termo é zero. Portanto, toda a função é igual a zero. Então a função vai passar pelo ponto -2
e vai passar pelo ponto 6. Agora a parábola é simétrica ao eixo que passa pelo vértice, e como é que nós vamos saber
que ponto é esse onde passa o eixo simétrico? Como ele é simétrico às raízes,
basta que nós saibamos que ponto... Primeiro sabemos que o ponto que nós queremos saber
vai estar no eixo x, portanto y vai ser igual a zero. Mas esse ponto aqui vai ser
uma média aritmética entre -2 e 6, portanto podemos somar -2 mais 6
e dividir por 2. -2 mais 6 é 4,
dividido por 2 é 2, ou seja, ele vai passar nesse ponto 2. Então nosso eixo de simetria passa pelo ponto 2. Agora, como é que vamos determinar qual é o ponto y
que corresponde ao eixo de simetria? Nós podemos substituir o valor de x igual a 2. Substituindo o valor de x igual a 2, vamos achar o valor da função onde x é igual a 2
e vai coincidir com o nosso vértice. Portanto fazendo f(2), nós temos ½ de (2 menos 6)
vezes (2 mais 2) 2 menos 6, -4
2 mais 2, 4. -4 vezes 4, -16. Então temos f(2) igual a ½ de -16,
que vai ser igual a -8. Portanto ele vai passar por esse ponto -8. Agora já podemos ter uma ideia do nosso gráfico. Se quisermos saber por que ponto ele passa no eixo y,
basta fazer x igual a zero, ou seja, para x igual a zero,
f(0) é igual a ½ de (zero menos 6) vezes (zero mais 2). -6 vezes 2 dá -12, dividido por 2 dá -6. Ou seja, ele vai passar por esse ponto também
quando x for igual a zero. Então podemos ter uma ideia bastante clara
de como é um esboço da nossa função do segundo grau, ou seja, onde 6 e -2 são as raízes,
o eixo de simetria fica exatamente no meio, que vai dar 2. Para achar o ponto do vértice,
ou seja, o ponto de mínimo da função, substituímos na equação e achamos -8. E se quisermos saber algo mais,
podemos saber, quando x for zero, qual é o local que o gráfico passa pelo eixo y,
que no caso vai ser -6.