Propriedade do produto nulo

RKA3JV - Vamos examinar, neste exemplo, quando uma multiplicação deve dar zero para nós sabermos os zeros de uma expressão. O estudante pode ficar tentado a fazer esta multiplicação e achar uma equação do segundo grau. Ao invés disso, vamos descobrir quais são os números que multiplicados dão zero. Ora, em uma multiplicação, se você tem "a" vezes "b" igual a zero, ou "a" é igual a zero, ou "b" é igual a zero. Vamos colocar um "ou" aqui. Não importa que valor que "a" tenha. Se for multiplicado por zero, vai dar zero. O "a" pode ser 7, 7 vezes zero é igual a zero. E não importa o valor que o "b" tenha, se "a" for zero, esta expressão vai dar zero. Os dois podem ser zero. Ou seja, esta multiplicação vai dar zero se um dos dois for zero ou ambos forem zero. Então, nós temos duas expressões aqui. Temos esta primeira expressão, e temos esta segunda expressão. Esta segunda expressão, vamos chamar de "b" e esta primeira expressão vamos chamar de "a". Nós temos uma multiplicação, que deve ser igual a zero. Significa dizer que ou 2x - 1 é igual a zero. Ou seja, esta expressão é igual a zero. Ou x + 4 é igual a zero, ou ambas são iguais a zero para que dê este resultado igual a zero. Então, basta que igualemos 2x - 1 = 0. Nós vamos ter 2x - 1 = 0, ou nós vamos ter x + 4 = 0. Resolvendo esta primeira equação, nós temos, somando 1 de cada lado, vamos ter 2x = 1. E, dividindo por 2 de ambos os lados, vamos ter x = 1/2. Ou seja, 1/2 torna esta expressão igual a zero. A outra solução é x + 4 ser igual a zero. Vamos subtrair 4 de ambos os lados, e vamos ter x = -4. Ou seja, "x = -4" também resolve esta equação. Senão, vejamos, vamos substituir, no lugar de "x" por 1/2. Nós temos 2 vezes 1/2 - 1 vezes 1/2. "x" nós estamos supondo que seja 1/2, 1/2 + 4 = 0. Ora, 2 vezes um 1/2 é 1. 1 menos 1 dá zero! Esta expressão já deu zero. Multiplicado por qualquer que seja este valor, não importa que o valor seja este, esta expressão vai dar zero. Vamos ver a outra expressão. Na outra expressão, nós temos x = -4. - 4 + 4 vai dar zero. E não importa que valor que tenhamos aqui, multiplicado por zero, vai dar zero. Vamos ver outro exemplo e vamos ver o exemplo com uma função. Então, vamos supor que você tenha uma determinada função f(x) = (x - 5) vezes (5x + 2), por exemplo. E queremos saber os zeros da função, as raízes da função. Normalmente, nós perguntamos isso. Então, basta que este seja igual a zero, ou este fator seja igual a zero, ou ambos. Então, resolvendo a expressão, nós temos que x - 5 seja igual a zero, ou 5x +2 seja igual a zero. Daqui nós temos, se somarmos 5 de ambos os lados vamos ter x = 5, é uma solução. E a outra solução é, bem, aqui vamos subtrair 2 de ambos os lados. Vamos ter 5x = -2 dividindo por 5 de ambos os lados. Vamos ter x = -2/5. E, realmente, se nós substituirmos 5 aqui, vamos ter 5 menos 5, zero, vezes qualquer coisa, não importa que seja 5 vezes 5 igual a 25. 25 + 2 = 27. Ou seja, aqui dá 27, mas, multiplicado por zero, que é esta primeira expressão, a expressão como um todo dá zero. Então, esta é uma solução para dar a raiz. Ou seja, para que esta função dê zero. A outra solução seria -2/5. -2/5 torna este lado igual a zero. Não importa que valor este fator tenha, sendo este fator igual a zero, torna toda esta expressão igual a zero.