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Revisão do método de completar quadrados

Completar quadrados é uma técnica de fatoração para equações do segundo grau. Este artigo revisa essa técnica dando exemplos e deixando que você a pratique por conta própria.

O que significa completar quadrados?

Completar quadrados é uma técnica para reescrever equações do segundo grau na forma (x+a)2+b.
Por exemplo, x2+2x+3 pode ser reescrito como (x+1)2+2. As duas expressões são completamente equivalentes, mas a segunda é mais legal para trabalharmos em algumas situações.

Exemplo 1

Temos uma equação do segundo grau e precisamos completar quadrados.
x2+10x+24=0
Começamos movendo o termo constante para o lado direito da equação.
x2+10x=24
Nós completamos quadrados elevando metade do coeficiente do nosso termo x ao quadrado, e somando o resultado aos dois lados da equação. Como o coeficiente do nosso termo x é 10, metade dele é 5, que elevado ao quadrado é 25.
x2+10x+25=24+25
Agora podemos reescrever o lado esquerdo da equação como um termo elevado ao quadrado.
(x+5)2=1
Elimine a raiz quadrada dos dois lados.
x+5=±1
Isole o x para encontrar a(s) solução(ões).
x=5±1
Quer saber mais sobre o método de completar quadrados? Confira este vídeo.

Exemplo 2

Temos uma equação do segundo grau e precisamos completar quadrados.
4x2+20x+25=0
Primeiro, divida o polinômio por 4 (o coeficiente do termo x2).
x2+5x+254=0
Observe que o lado esquerdo da equação já é um trinômio quadrado perfeito. O coeficiente de nosso termo x é 5, metade dele é 52, que elevado ao quadrado é igual a 254, nosso termo constante.
Portanto, podemos reescrever o lado esquerdo da equação como um termo elevado ao quadrado.
(x+52)2=0
Elimine a raiz quadrada dos dois lados.
x+52=0
Isole x para encontrar a solução.
A solução é: x=52

Prática

Problema 1
Complete o quadrado para reescrever essa expressão na forma (x+a)2+b.
x22x+17

Quer praticar mais? Confira esses exercícios:

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  • Avatar aqualine seed style do usuário Rihan Cavalcante Chalegre
    Quando coloquei no "PROBLEM 2" da "Prática" os valores x=10 e x=4 nessa ordem estava indicando como errado, até passei um bom tempo tentando achar onde errei e não tinha errado em nada. Era simplesmente porque o site só aceita na ordem x=4 e x=10. Por favor corrijam esse erro!! Perdi muito tempo com um erro do site que deveria aceitar nas duas ordens. Fora isso, vocês são d+, muito obrigado pelo aprendizado que estão me proporcionando <3
    (2 votos)
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  • Avatar aqualine ultimate style do usuário Felipe Whitaker
    Neste caso me confundi muito com a resposta pois na primeira resposta para completar está assim (x+_)²=_
    Esse sinal de mais está atrapalhando,mesmo sabendo que se eu colocar meu -7 ali com os parenteses haverá multiplicação de sinais, eu acho que aquele sinal de mais não deveria estar ali!
    Eu olhava para minha resposta ((x-7)²=9) e não entendia esse sinal de mais aí.
    (0 votos)
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