Exemplo solucionado: como completar o quadrado (coeficiente principal ≠ 1)

RKA - Complete o quadrado para resolver 4x² + 40x - 300 = 0. Deixa eu reescrever, 4x² + 40x - 300 = 0 Então, esse é o primeiro passo aqui. Não gosto de ter esse 4 como coeficiente ao quadrado, eu preferiria que fosse 1. Então vamos dividir os dois lados dessa equação por 4. Vamos dividir tudo por 4. Isso dividido por 4, isso dividido por 4, aquilo dividido por 4, e zero dividido por 4. Dividimos os dois lados por 4. Vai ser simplificado para x² + 10x, posso obviamente fazer isso, porque contanto que eu faça com o lado esquerdo o que faço do lado direito, isso vai ser igual, a igualdade vai continuar sendo válida. Por isso que eu posso fazer isso. 40 dividido por 4, é 10x, e 300 dividido por 4 é o que? É 75. Deixa eu verificar isso. 400, 40 vai dar 30, 7 vezes. 7 vezes 4, é 28, subtrai e tem um 2 de resto, traz para baixo o zero, é 20, 4 cabe em 20, 5 vezes. 5 vezes 4 é 20, subtrai e tem zero. Então, vai ser 75 vezes, -75 é igual a zero. E quando olha pra isso da maneira que está escrito, pode tentar fatorar de alguma maneira, mas está bem claro que isso não é um quadrado perfeito, ou que isso não é um trinômio quadrado perfeito, porque se olhar para esse termo aqui, esse 10, metade desse 10 é 5, 5 ao quadrado não é 75. Então, isso não é um quadrado perfeito. O que queremos fazer é transformar, de alguma forma, transformar o que quer que tenhamos do lado esquerdo, em um quadrado perfeito, e estou começando a tirar esse 75 do caminho. Às vezes, vai ver as pessoas deixando o 75 do lado esquerdo, eu vou colocar do lado direito só para limpar um pouco as coisas. Vamos somar o 75 aos dois lados para nos livrarmos do -75 do lado esquerdo da equação. A gente tem x² + 10x, e -75 + 75 são cancelados. Estou deixando algum espaço aqui porque eu vou adicionar alguma coisa para completar o quadrado. Isso é igual a 75, tudo o que eu fiz foi somar 75 aos dois lados da equação. Agora, desse lado, isso eu encontro para completar o quadrado. Quero adicionar alguma coisa aos dois lados dessa equação, não posso somar apenas a um lado dela. Quero somar algo aos dois lados dessa equação, de forma que o lado esquerdo venha a ser um trinômio quadrado perfeito. A maneira que podemos fazer isso, como vimos no último vídeo, quando a gente estruturou um trinômio quadrado perfeito. E esse último termo, ou devo dizer onde vemos esse do lado esquerdo, não o último termo, essa expressão do lado esquerdo seria um quadrado perfeito se tivéssemos um termo, um termo independente, que seja o quadrado da metade do coeficiente desse, no primeiro termo de primeiro grau. Então, o coeficiente aqui é 10, metade de 10 é 5, 5 ao quadrado é 25, vou somar 25 ao lado esquerdo, claro, para manter a igualdade, qualquer coisa que eu fizer no lado esquerdo tenho que fazer no lado direito. Agora vemos que isso é um quadrado perfeito. Dizemos: tá legal, qual são os dois números que, somados, tenho 10, e quando multiplico, tenho 25? Bom, é 5 e 5. Quando fatoramos isso, vemos que o lado esquerdo é simplificado a (x + 5)², (x + 5) vezes (x + 5). Você pode ver os vídeos de fatoração se achar isso confuso, ou poderia assistir o último vídeo sobre construir trinômios quadrados perfeitos. Aconselho que assista, e aí vai ver que obtém exatamente isso. Isso vai ser igual a 75 + 25, que é igual a 100. E agora, estamos dizendo que alguma coisa ao quadrado é igual a 100. Realmente, alguma coisa aqui, se eu te disse, alguma coisa ao quadrado é igual a 100, significa que esse alguma coisa é uma das raízes quadradas de 10. A gente sabe que 10 tem duas raízes quadradas, tem 10 positivo e tem -10. A gente pode dizer que (x + 5), esse alguma coisa que estamos colocando ao quadrado, deve ser uma das raízes quadradas de 100. Isso deve ser igual a mais ou menos a raiz quadrada de 100, ou mais ou menos 10. Ou podemos separar isso, dizer que x + 5 = 10, ou x + 5 = -10. Desse lado aqui, posso subtrair 5 dos dois lados dessa equação, e teria deixa eu escrever, subtraindo 5 dos dois lados, tenho x = 5. Aqui, posso subtrair 5 dos dois lados de novo. Vamos subtrair 5 nos dois casos, subtraia 5 de novo, e vou obter x = -15, essas são as minhas duas soluções. Duas soluções que obtive para resolver essa equação. Podemos verificar que eles podem, na verdade, funcionar. Vou fazer isso em azul. Vamos tentar com 5. Vou fazer só um deles, posso deixar o outro para você. Vou deixar o outro para verificar que funciona. 4 vezes "x²", então 4 vezes 25, mais 40 vezes 5, menos 300, precisa ser igual a zero, 4 vezes 25 é 100. 40 vezes 5, é 200. Vamos subtrair o 300: 100 + 200 - 300 é com certeza zero. x = 5, deu certo! Acho que vai descobrir que x = -15, também vai dar certo quando substitui nessa equação.