Exemplos solucionados: formas e características das funções do segundo grau

RKA - A função "m" é dada em 3 formas diferentes. Qual forma mostra rapidamente o ponto de interseção com o eixo "y"? Primeiro, vemos que esta é a maneira mais comum de escrever a equação do segundo grau, ou seja, você tem "y = ax² + bx + c". É assim que achamos o vértice de uma forma mais rápida. Normalmente, nesta forma fatorada achamos as raízes. A primeira coisa a se examinar é a concavidade: Aqui, nós temos a concavidade voltada para baixo, portanto, esta função do segundo grau é algo desse tipo, e nós queremos saber em que ponto ela cruza o eixo "y", este ponto aqui. Para interceptar o eixo "y", significa que "x = 0". Esta maneira comum, quando colocamos "x = 0", este termo, esse outro desaparece e ficamos apenas com o "-54", o ponto que ele cruza o eixo "y", e é a maneira mais fácil. Você poderia pensar: Mas, e se eu colocar por aqui? Neste caso, você teria que colocar "x = 0". "x = 0" ficaria "-6²", daria 36 vezes "-2", daria "-72", "-72" mais 18, que daria "-54". É uma maneira bem mais complicada de se fazer. Nesta maneira fatorada, você teria que colocar "x = 0", ficaria "-3" vezes "-9", daria mais 27 vezes "-2", o que daria "-54". Você também acharia, mas, obviamente, a maneira mais fácil de se achar a interseção com o eixo "y" é a maneira comum, pois quando você coloca o "x = 0", você já obtém de cara o ponto de interseção com o eixo "y". Logo, essa é a melhor alternativa. Vamos ver outra questão: a função é a mesma da de 3 formas diferentes, qual forma revela mais rapidamente seu vértice? Já chamamos esta de vértice. Para acharmos o vértice, a concavidade é para baixo, então, temos de ter um ponto, que será um ponto médio onde vai dar o ponto de máximo. Para dar o ponto de máximo, temos que o nosso "a" é negativo, e a concavidade é para baixo. Então, este termo, qualquer que seja ele, elevado ao quadrado, sempre vai dar um número positivo, multiplicado por um número negativo sempre vai dar negativo. Ou seja, qual é o termo maior que podemos ter aqui? Podemos ter o termo maior quando "x - 6", isto aqui, for 0. 0 é o maior termo, pois todos os outros são negativos. Então, quando "x = 6", "6 - 6 = 0" "0² = 0" vezes "-2 = 0" e o "y = 18", ou seja, o "x = 6" e o "y = 18". E este é o nosso vértice: (6, 18). Poderíamos achar por aqui? Sim. Como nós achamos o vértice? Nós utilizamos aquela fórmula: "(-b)/2a" para o "x" e "(-Δ)/4a" para o "y"; o "Δ" vai ser "b²" menos "4ac", dividido por "4a"; e "(-b)/2a" é o mais fácil. Você teria "-24" dividido por "-2" vezes 2, menos 24 dividido por "-4", daria 6. Sabendo que "x = 6", poderia substituir e achar qual é o valor de "y". Não é a maneira mais fácil, e sim esta é a maneira mais fácil. Nesta daqui, para se achar o vértice, você teria que achar, primeiro, as raízes. Pois, sabendo as raízes, neste caso aqui seria 3, e neste caso aqui seria 9. O "x" que vai dar o vértice é o "x" médio, ou seja, entre 3 e 9. (3 + 9 = 12) dividido por 2 é igual a 6. Você substituiria 6 aqui, e ficaria "6 - 3 = 3"; "6 - 9" igual a "-3"; "-3" vezes 3 daria "-9"; "-9" vezes "-2" daria "+18". Também é a maneira que resolve, mas é bem mais complicada do que, simplesmente, achar o máximo, que é o 0 neste caso, já que todos os números dão negativo, você acha qual "y" que vai ser o seu vértice, ou seja, no caso, o máximo é quando "x = 6" e o vértice vai ser quando "y" for 18. Vamos ver uma última agora: Nós temos 3 formas diferentes e queremos os 0 da função, ou as raízes. Obviamente, a maneira fatorada é a mais fácil, pois nós temos os fatores multiplicados e basta que um deles seja 0 para que todos os outros sejam 0. Ou seja, basta que "x" seja igual a "-1" ou "x" igual a "-11". E acabou, você já achou as raízes da equação: "-1" ou "-11". Esta, que é a forma comum, você poderia resolver por Bhaskara: -b ± √(b² - 4ac)/2a É bem mais complicado, você vai ficar com: -36 ± a raiz quadrada de (36)² menos 4 * 3 * 33 sobre 2a. É bem mais complicado. Esta maneira aqui resolve? Resolve. Você faria: "f (x) = 0". Fazendo "f (x) = 0", você teria "3(x + 6)² -75 = 0". Ou seja, "3(x + 6)² = 75", ficaria, agora, dividindo por 3 ambos os lados, "(x + 6)² = 25" que é "75/3", e agora você teria duas raízes: uma "(x + 6)" raiz positiva de 25, ou seja, "(x + 6) = 5" e "(x + 6)" igual a "-5". Daqui, você tira que "(x + 6) = 5", você tem que "x" é igual a menos "-1", e "(x + 6)" é igual a "-5", você tira que "x" é igual a "-11". Pode-se resolver por aqui? Sim. Mas, a maneira mais fácil, sem dúvida nenhuma, é a maneira fatorada.