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Álgebra intermediária (parte 1)

Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 14

Lição 6: A fórmula de Bhaskara
Matemática
Álgebra intermediária (parte 1)
Equações e funções do segundo grau
A fórmula de Bhaskara
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Revisão do discriminante

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O discriminante é a parte da fórmula de Bhaskara sob o símbolo da raiz quadrada: b²-4ac. O discriminante nos diz se há duas soluções, uma solução, ou nenhuma solução.

Revisão relâmpago da fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara determina que
x, equals, start fraction, minus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, plus minus, square root of, start color #e07d10, b, end color #e07d10, squared, minus, 4, start color #7854ab, a, end color #7854ab, start color #e84d39, c, end color #e84d39, end square root, divided by, 2, start color #7854ab, a, end color #7854ab, end fraction
para toda equação do segundo grau como:
start color #7854ab, a, end color #7854ab, x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #e84d39, c, end color #e84d39, equals, 0

O que é discriminante?

O start color #e07d10, start text, d, i, s, c, r, i, m, i, n, a, n, t, e, end text, end color #e07d10 é a parte da fórmula de Bhaskara sob a raiz quadrada.
x, equals, start fraction, minus, b, plus minus, square root of, start color #e07d10, b, squared, minus, 4, a, c, end color #e07d10, end square root, divided by, 2, a, end fraction
O discriminante pode ser positivo, igual a zero, ou negativo, e isso determina quantas soluções há para a equação do segundo grau dada.
  • Um discriminante positivo indica que a equação do segundo grau tem duas soluções de números reais diferentes.
  • Um discriminante igual a zero indica que a equação do segundo grau tem uma solução de número real repetido.
  • Um discriminante negativo indica que nenhuma das soluções é composta por números reais.
Quer entender essas regras em um nível mais detalhado? Confira este vídeo.

Exemplo

Temos uma equação do segundo grau e precisamos saber quantas soluções ela tem:
6, x, squared, plus, 10, x, minus, 1, equals, 0
A partir da equação, vemos que:
  • a, equals, 6
  • b, equals, 10
  • c, equals, minus, 1
Inserindo esses valores no discriminante, obtemos:
b2−4ac=102−4(6)(−1)=100+24=124\begin{aligned} &b^2-4ac\\\\ =&10^2-4(6)(-1)\\\\ =&100+24\\\\ =&124 \end{aligned}
Este é um número positivo, então a equação do segundo grau tem duas soluções.
Isso faz sentido se pensarmos no gráfico correspondente.
Um plano cartesiano. Os eixos x e y estão em uma escala de um em um. O gráfico representa uma função de parábola com concavidade voltada para cima. A função diminui passando pelo ponto dois negativo, dois e tem uma interceptação em x em torno de dois negativo. A função tem um mínimo em torno de um negativo, cinco negativo e, então, aumenta passando pelo ponto zero, um negativo e tem outra interceptação em x em torno de zero.
Gráfico de y=6x^2+10x-1
Observe como ele cruza o eixo x em dois pontos. Em outras palavras, há duas soluções com um valor de y igual a 0, então deve haver duas soluções para nossa equação original: 6, x, squared, plus, 10, x, minus, 1, equals, 0.

Prática

Problema 1
  • Atual
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared, plus, 24, x, plus, 48
Qual é o valor do discriminante de f?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
Quantos números reais são zeros de f?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Quer praticar mais? Confira este exercício.

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