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Conteúdo principal

Entendendo a fórmula de Bhaskara

Saiba mais sobre a fórmula de Bhaskara e como ela é usada em equações do segundo grau.
A fórmula de Bhaskara ajuda a resolver equações do segundo grau e provavelmente está entre as cinco principais fórmulas matemáticas.  Não somos grandes adeptos da memorização de fórmulas, mas esta é útil (e achamos que você deveria aprender a derivá-la e usá-la, mas isso fica para o segundo vídeo!).
Se você tiver uma equação do segundo grau geral como esta:
a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0
Então, a fórmula o ajudará a encontrar as raízes de uma equação do segundo grau, ou seja, os valores de x dessa equação resolvida.

A Fórmula de Bhaskara

x, equals, start fraction, minus, b, plus minus, square root of, b, squared, minus, 4, a, c, end square root, divided by, 2, a, end fraction
Pode parecer assustador, mas você vai se adaptar logo!
Experimente usar a fórmula agora.

Exemplo solucionado

Primeiramente, precisamos identificar os valores de a, b e c (os coeficientes). Primeira etapa: verifique se a equação está no formato mostrado acima, a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0:
x, squared, plus, 4, x, minus, 21, equals, 0
  • a é o coeficiente que aparece na frente de x, squared, então aqui a, equals, 1 (observe que a não pode ser igual a 0 -- o x, squared é o que faz esta equação ser se segundo grau).
  • b é o coeficiente que aparece na frente de x, então aqui, b, equals, 4.
  • c é a constante, ou o termo sem nenhum x por perto, portanto aqui, c, equals, minus, 21.
Em seguida, substituímos a, b e c na fórmula:
x, equals, start fraction, minus, 4, plus minus, square root of, 16, minus, 4, dot, 1, dot, left parenthesis, minus, 21, right parenthesis, end square root, divided by, 2, end fraction
a resolução deve ser a seguinte:
x=4±1002=4±102=2±5\begin{aligned} x&=\dfrac{-4\pm\sqrt{100}}{2} \\\\ &=\dfrac{-4\pm 10}{2} \\\\ &=-2\pm 5 \end{aligned}
Portanto, x, equals, 3 ou x, equals, minus, 7.

O que a solução indica?

As duas soluções são as interceptações em x da equação, ou seja, onde a curva cruza o eixo x. A equação x, squared, plus, 3, x, minus, 4, equals, 0 pode ser demonstrada da seguinte forma:
Representação gráfica de equações de segundo grau
em que as soluções da fórmula de Bhaskara, e as interceptações são x, equals, minus, 4 e x, equals, 1.
Agora você também pode resolver uma equação do segundo grau por meio da fatoração, do método de completar quadrados ou do gráfico. Então, por que precisamos da fórmula?
Porque, às vezes, as equações do segundo grau são muito mais difíceis de resolver do que a que aparece no primeiro exemplo.

Segundo exemplo solucionado

Vamos tentar isso com uma equação difícil de fatorar:
3, x, squared, plus, 6, x, equals, minus, 10
Vamos colocar todos os termos do lado esquerdo:
start underbrace, left parenthesis, 3, right parenthesis, end underbrace, start subscript, a, end subscript, x, squared, plus, start underbrace, left parenthesis, 6, right parenthesis, end underbrace, start subscript, b, end subscript, x, plus, start underbrace, left parenthesis, 10, right parenthesis, end underbrace, start subscript, c, end subscript, equals, 0
Com a fórmula temos:
x=6±62431023=6±361206=6±846\begin{aligned} x&=\dfrac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot 3\cdot 10}}{2\cdot 3} \\\\ &=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-120}}{6} \\\\ &=\dfrac{-6\pm\sqrt{-84}}{6} \end{aligned}
Sabemos que não é possível obter a raiz quadrada de um número negativo sem usar números imaginários, o que nos leva a concluir que não há solução real para esta equação.  Isto significa que em nenhum ponto y, equals, 0, ou seja, a função não vai cruzar o eixo x. Também podemos ver isso graficamente em uma calculadora:
Equação de segundo grau demonstrada em uma calculadora
Agora, você já sabe o básico sobre a fórmula de Bhaskara!
Há muitos outros exemplos resolvidos nos vídeos a seguir.

Dicas para usar a fórmula de Bhaskara

  • Verifique se a equação está organizada da forma correta: a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0, caso contrário ela não funcionará!
  • Não se esqueça de tirar a raiz quadrada de todo o conjunto left parenthesis, b, squared, minus, 4, a, c, right parenthesis, e de que 2, a é o denominador de tudo o que está sobre ele
  • Atenção aos valores negativos: b, squared não pode ser negativo; portanto, se b começar como um número negativo, lembre-se de transformá-lo em positivo, uma vez que o quadrado de um número negativo ou de um número positivo é um número positivo
  • Mantenha o sinal de plus, slash, minus e sempre busque DUAS soluções
  • Se você usar uma calculadora, a resposta pode ser arredondada para um determinado número de casas decimais. Se precisar da resposta exata (como normalmente acontece) e as raízes quadradas não puderem ser facilmente simplificadas, mantenha as raízes quadradas na resposta, como por exemplo start fraction, 2, minus, square root of, 10, end square root, divided by, 2, end fraction e start fraction, 2, plus, square root of, 10, end square root, divided by, 2, end fraction

Próxima etapa:

Invólucro do vídeo da Khan Academy
Using the quadratic formulaVer transcrição do vídeo
  • Demonstração da fórmula de Bhaskara:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Proof of the quadratic formulaVer transcrição do vídeo

Quer participar da conversa?

  • Avatar blobby green style do usuário Débora Chaves
    em relação a bháskara, gostaria de saber como faço para resolver quando a equação não for completa e o B estiver negativo?
    exemplo: X2- 4X= 0
    (6 votos)
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    • Avatar mr pink red style do usuário victor_mouraazevedo
      Neste caso o c, que é a parte dá equação que está faltando, será igual a 0.
      Deixe-me explicar melhor. A equação de segundo grau COMPLETA é formada por ax + bx + c = 0.
      No caso de sua dúvida, para resolver o problema basta usar a fatoração do termo comum. Ficaria assim: x² - 4x = 0 --> x(x -4) = 0 .
      (13 votos)
  • Avatar aqualine ultimate style do usuário giannelito
    e se eu só tiver o coeficiente A como resolvo?
    (4 votos)
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    • Avatar starky ultimate style do usuário Vinicius Gabriel
      Depende. Se todos os termos forem coeficientes, basta somar ou subtrair (dependendo da operação em que a equação está elucidada) e o resultado "brotará" desta operação. Agora, se a equação tiver apenas um coeficiente, basta aplicar o método de fatoração ou a fórmula de Bhaskara.
      (3 votos)
  • Avatar blobby green style do usuário 😊
    Olá! tenho uma duvida... Minha professora ensinou a fórmula de bháskara assim: b(ao quadrado) - 4 . a . c, e em uma equação estou com uma duvida em reconhecer as incógnitas, la vem a equação x(ao quadrado) + 5x - 2x = -8, não sei se o coeficiente c é -2 ou só 2... Você pode me ajudar?
    (1 voto)
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    • Avatar leaf green style do usuário gustavo medici
      Voce tem que colocar a formula que foi dada pelo professor no formato (ax(quadrado)+bx+c). O "a" é o número que multiplica o x elevado ao quadrado. O "b" será qualquer número que multiplique o "x". E o "c" é aquele número que não multiplica x. No seu caso, formatar sua equação ao modelo acima significa assumir que 1x elevado ao quadrado +3x+8=0 (apliquei pequena manipulação algébrica aqui). Para completar Bháskara, "a" é igual a 1, "b"é igual a 3, e "c" igual a 8. Observe que ("b" quadrado - 4."a"."c") é apenas uma parte da formula de Bhaskara, chamada "discriminante". Aplicando a formula inteira, não existe resultado real para esta equação, pois o número que ficará dentro da raiz quadrada é negativo.
      (1 voto)
  • Avatar blobby green style do usuário JoicySantos985
    Eu ainda tenho muita duvida de como eu monto aquela formula a partir desta equação x
    2
    +4x−21=0 eu simplesmente não consigo entender, sua explicação está ótima, mas eu de alguma maneira não consigo entender
    (1 voto)
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  • Avatar blobby green style do usuário diego.alves.moraes53
    ola tenho um desafio de matematica pra fazer, equação do segundo grau .. o desafio diz assim: "Juca estima que serão 30 pessoas e, se todos forem, a agência "Viaje Mais" informou que cada cliente pagará R$ 3000,00 para aéreo e hotel all incluse ao destino desejado. Mas, o valor ofertado é especial por ser para 30 clientes. Caso haja desistência, cada pessoa que irá deve pagar mais R$ 100,00 por cada desistente do pacote de viagem.

    Defina a fórmula que apresenta o valor total (R) que a agência Viaje Mais ganhará na venda do pacote turístico para Juca e sua família.

    nao estou conseguindo chegar á um resultado.. se puderem me ajudar.. obrigado.
    (1 voto)
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  • Avatar blobby green style do usuário 😊
    Muito obrigado pela ajuda com bhaskara !
    Gostei muito da explicação sem ver o video,depois que vi que tinha video ficou bem mais fácil então!
    (1 voto)
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  • Avatar blobby green style do usuário rayslacristina015
    Resolução da equação utilizando a formula de bhaskara
    x2 - 2x - 3 = 0
    (1 voto)
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  • Avatar mr pink red style do usuário Renata Casoni
    precisa fazer aquela conta pra descobrir o Delta? Meu professor me ensinou diferente o jeito dele tá errado?
    (1 voto)
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  • Avatar blobby green style do usuário Marcella Grassi
    Como fazer isso: Para que valores da constante C o produto das raízes de 2x^2+7x+C=0 é igual a 5?
    (1 voto)
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  • Avatar aqualine seed style do usuário GChiovatto
    No fim da fórmula, quando for atribuir os valores a x1 e x2, devo fazer primeiro a adição ou subtração em +/- ?
    (1 voto)
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