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Resolução de equações do segundo grau por fatoração

Aprenda a resolver equações do segundo grau como (x-1)(x+3)=0 e a usar a fatoração para resolver outras formas de equações.

Que conceitos você deve conhecer antes de iniciar essa lição

O que você vai aprender nessa lição

Até agora, você resolveu equações lineares, que incluem termos constantes — números simples — e termos com a variável elevada à primeira potência x1=x.
Você também deve ter resolvido algumas equações de segundo grau, o que inclui a variável elevada à segunda potência, calculando a raiz quadrada de ambos os lados.
Nesta lição, você aprenderá uma nova maneira de resolver equações de segundo grau. Mais especificamente, você saberá
  • como resolver equações fatoradas como (x1)(x+3)=0 e
  • como usar métodos de fatoração para transformar outras equações (como x23x10=0) na forma fatorada e resolvê-las.

Resolução de equações do segundo grau fatoradas

Suponha que devemos resolver a equação do segundo grau (x1)(x+3)=0.
Este é um produto de duas expressões que é igual a zero. Observe que qualquer valor x que torne (x1) ou (x+3) igual a zero tornará seu produto igual a zero.
(x1)(x+3)=0x1=0x+3=0x=1x=3
Se substituirmos x=1 ou x=3 na equação, obteremos a afirmativa verdadeira 0=0, então ambas são soluções da equação.
Agora, resolva algumas equações semelhantes por conta própria.
Resolva (x+5)(x+7)=0.
Escolha 1 resposta:

Resolva (2x1)(4x3)=0.
Escolha 1 resposta:

Pergunta para reflexão

Podemos aplicar o mesmo método de solução à equação (x1)(x+3)=6?
Escolha 1 resposta:

Observação sobre a propriedade do elemento nulo

Como sabemos que não há mais soluções além das que encontramos usando nosso método?
A resposta é dada por uma propriedade simples, mas muito útil, chamada de propriedade do elemento nulo:
Se o produto de duas quantidades é igual a zero, então pelo menos uma delas deve ser igual a zero.
Substituir x por qualquer valor diferente de nossas soluções resulta em um produto de dois números diferentes de zero, o que significa que o produto certamente não é zero. Portanto, sabemos que nossas soluções são as únicas possíveis.

Resolução pela fatoração

Suponha que queiramos resolver a equação x23x10=0. Então, tudo o que temos que fazer é fatorar x23x10 e resolvê-la da mesma maneira que antes!
x23x10 pode ser fatorada como (x+2)(x5).
A solução completa da equação fica assim:
x23x10=0(x+2)(x5)=0Fatore.
x+2=0x5=0x=2x=5
Agora, é a sua vez de resolver algumas equações por conta própria. Lembre-se de que diferentes equações requerem diferentes métodos de fatoração.

Resolva x2+5x=0.

Etapa 1. Fatore x2+5x como o produto de duas expressões lineares.

Etapa 2. Resolva a equação.
Escolha 1 resposta:

Resolva x211x+28=0.

Etapa 1. Fatore x211x+28 como o produto de duas expressões lineares.

Etapa 2. Resolva a equação.
Escolha 1 resposta:

Resolva 4x2+4x+1=0.

Etapa 1. Fatore 4x2+4x+1 como o produto de duas expressões lineares.

Etapa 2. Resolva a equação.
Escolha 1 resposta:

Resolva 3x2+11x4=0.

Etapa 1. Fatore 3x2+11x4 como o produto de duas expressões lineares.

Etapa 2. Resolva a equação.
Escolha 1 resposta:

Organizar a equação antes de fatorá-la

Um dos lados deve ser zero.

Resolvemos a equação x2+2x=40x da seguinte forma:
x2+2x=40xx2+2x40+x=0Subtraia 40 e some x.x2+3x40=0Combine termos semelhantes.(x+8)(x5)=0Fatore.
x+8=0x5=0x=8x=5
Antes de fatorar, manipulamos a equação para que todos os termos estivessem do mesmo lado, e o outro lado fosse zero. Só assim conseguimos fatorar e usar nosso método de resolução.

Removendo os fatores comuns

Resolvemos a equação 2x212x+18=0 da seguinte forma:
2x212x+18=0x26x+9=0Divida por 2.(x3)2=0Fatore.x3=0x=3
A princípio, todos os termos tinham um fator comum igual a 2, então dividimos todos os lados por 2 — o lado do zero permaneceu igual a zero — o que facilitou a fatoração.
Agora, resolva algumas equações semelhantes por conta própria.
Encontre as soluções da equação.
2x23x20=x2+34
Escolha todas as respostas aplicáveis:

Encontre as soluções da equação.
3x2+33x+30=0
Escolha todas as respostas aplicáveis:

Encontre as soluções da equação.
3x29x20=x2+5x+16
Escolha todas as respostas aplicáveis:

Quer participar da conversa?

  • Avatar mr pink red style do usuário pedro.gaspar.001
    Só acho que a equação 4x^2+4x+1=0 na etapa 1 devia aceitar também como solução: (x+1/2)*(x+1/2)
    (5 votos)
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  • Avatar blobby green style do usuário fabiolsilva
    Resolva 3x2 + 11x - 4 está ERRADA. A solução que apresentaram para o problema não tem solução real. Quando fizeram a resolução, colocaram o coeficiente c valendo 12, aí sim teria resposta. Por favor, antes de colocarem atividades para o estudantes fazer, certifiquem-se de que estão todas CORRETAS.

    .
    (4 votos)
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