Introdução a transformações de parábolas

RKA - Desenhei uma parábola clássica "y = x²" e quero pensar como posso alterar essa parábola. Vamos pensar em alguns exemplos. Pense na aparência da curva. Isto é "y = x²". Vamos pensar na curva de "y - k = x²". Como ela seria? Aqui a gente vê que, quando "x" é igual a zero, "x²" é igual a zero; é esta curva amarela. "x² = y" ou "y = x²". Mas, para esta, "x²" não é igual a "y", é igual a "y - k". Quando "x = 0" e o elevamos ao quadrado, "0²" não resulta em "y", mas resulta em "y - k". Então, isso será "k < y", ou podemos pensar: isto é zero se é "k < y". "y" deve estar em "k", onde quer que seja. "y" deve estar em "k" aqui. Pelo menos, neste ponto, teve o efeito de alterar para cima o valor "y" em "k" e isso vale para todos esses valores. Digamos que "x" esteja bem aqui. Para essa curva amarela, você eleva o "x²" e ele vem para cá. E não desenhei na escala certa; mas, elevando ao quadrado, chegamos aqui. Mas, para esta curva, "x²" não serve. Só chega a "y - k", e "y" deve ser "k" maior que isso. Isto é "y - k". "y" deve ser "k" maior que isso. "y" deve estar aqui. Essa curva é a curva amarela deslocada para cima por "k". Assim, "y - k" é igual a "x²" deslocada para cima por "k" unidades. Qualquer que seja este valor, desloque para cima por "k". Essa distância é um "k" constante (a distância vertical entre essas duas parábolas). Vou tentar desenhar o melhor possível. Essa distância vertical é um "k" constante. Agora, vamos deslocar na direção horizontal. Vamos pensar no que acontece se eu dissesse que "y" é igual não a "x²", mas a "(x - h)²". Vamos pensar. Esse é o valor de "y" quando se eleva zero ao quadrado. Ficamos com "y = 0". Como fazemos "y" ser igual a "0" aqui? Essa quantidade tem que ser zero. "x - h" tem que ser zero, ou "x" tem que ser igual a "h". Digamos que "h" esteja aqui, então "x" tem que ser igual a "h". Para obter um valor em "y", você deve elevar ao quadrado um valor maior que "h", porque vai subtrair "h" dela. Por exemplo, para elevar zero ao quadrado, "x" tem que ser igual a "h". Se quisesse 1², "x" teria que ser igual a 1. Digamos que "x" é igual a 1, e é 1², claramente, fora da escala. Também seria 1. Mas, para elevar 1 ao quadrado, não basta "x" ser igual a 1; "x" tem que ser "h + 1". Tem que ser 1 a mais que "h". Tem que ser "h + 1" para chegar ao mesmo ponto. O efeito é que, em vez de elevar só "x" ao quadrado, quando elevamos "(x - h)" ao quadrado, deslocamos a curva para a direita. Então, a curva... (vou usar o roxo)... vai ficar assim. Nós a deslocamos para a direita; e a deslocamos para a direita por "h". Agora, vamos fazer outra experiência. Vamos imaginar que... vamos pensar na curva "y = -x²". Qualquer que seja o valor de "x²", vamos pegar o negativo dele. Qualquer que fosse o valor de "x" seria positivo ao quadrado. Agora, sempre teremos um valor negativo quando o multiplicar por -1. Vai ficar assim. Vai ser uma imagem de "y = x²" refletida no eixo horizontal. Vai ficar mais ou menos assim. Isto é "y = -x²". Agora, precisa dimensionar ainda mais. Como seria "y = -2x²"? Ou melhor, vou fazer duas coisas. Como seria "y = 2x²"? Vamos ver a versão positiva. "y = 2x²". Elevando ao quadrado, agora vamos multiplicar por 2. Vai aumentar mais rápido, vai ficar assim... mais estreito e côncavo, mais ou menos assim. De novo, estou dando uma ideia, não estou desenhando na escala. Aumentando por um fator, ela aumenta mais rápido. Se fosse "y = -2x²", ficaria negativo mais rápido dos dois lados. Mais ou menos assim: a imagem refletida do que acabei de desenhar. Seria uma parábola mais estreita, assim. Sei que o meu diagrama está ficando muito confuso, mas lembre que começamos com "y = x²", que é esta curva aqui. E se fosse "y = (1/2)x²"? Estou ficando sem cores também. Se fosse "y = (1/2)x²", a curva aumentaria mais devagar; seria igual, mas mais aberta. Vai aumentar mais devagar. Vai ficar mais ou menos assim. Isso deve te dar uma ideia de como podemos deslocar parábolas. Por exemplo, se eu tenho... (estou fazendo um esboço aqui só para dar uma ideia do que estou falando)... se isso é "y = x²"... esse é o gráfico de "y = x²"... (vou fazer em outra cor)... o gráfico de "y - k = A ‧ (x - h)²" vai ser assim. Em vez de o vértice ser no ponto (0, 0), o ponto mínimo ou máximo (o ponto extremo da parábola, seria o ponto máximo de uma parábola voltada para baixo; e o ponto mínimo de uma parábola voltada para cima) vai ser deslocado; vai ser deslocado por "h" à direita e "k" para cima. E seu vértice vai estar bem aqui e vai ser dimensionado por "A". Se "A = 1", vai ficar igual; vai ter a mesma concavidade. Isto é "A = 1". Se "A" for maior que 1, vai ser mais côncavo (assim). Se "A" for menor que 1, mas maior que zero, vai ser mais aberto. Aliás, se "A" for zero, vira uma reta. E, se "A" for negativo, mas menor que -1, vira uma curva aberta (assim)... ou melhor, maior que -1. Se estiver entre zero e -1, será uma curva convexa. Em -1 será um reflexo da nossa curva original. Se "A" for menor que -1, ainda mais negativo, vai ser uma parábola ainda mais fechada. Espero que tenha te dado uma ideia de como deslocar e dimensionar parábolas. Até o próximo vídeo!