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Álgebra intermediária (parte 1)
Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 14
Lição 3: Resolução por meio do cálculo da raiz quadrada- Resolução de equações do segundo grau obtendo-se a raiz quadrada
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Resolução de equações do segundo grau obtendo-se a raiz quadrada
Aprenda a resolver equações do segundo grau como x^2=36 ou (x-2)^2=49.
Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição
O que você vai aprender nessa lição
Até agora, você resolveu equações lineares, que incluem termos constantes — números simples — e termos com a variável elevada à primeira potência .
Agora, você vai aprender a resolver equações de segundo grau, que incluem termos em que a variável é elevada à segunda potência, .
Aqui estão alguns exemplos dos tipos de equações do segundo grau que você vai aprender a resolver:
Agora, mãos à obra.
Como resolver e equações semelhantes
Suponha que queiramos resolver a equação . Vamos primeiro verbalizar o que a equação está nos pedindo para calcular. Ela nos pergunta qual número, quando multiplicado por ele mesmo, é igual a ?
Se esta pergunta soa familiar, é porque essa é a definição da raiz quadrada de 36, que é expressa matematicamente como .
Agora, veja como é a solução completa da equação:
Vamos revisar o que aconteceu nessa solução.
O que significa o sinal
Note que todo número positivo tem duas raízes quadradas: uma raiz quadrada positiva e uma negativa. Por exemplo, tanto quanto , quando elevados ao quadrado, são iguais a . Portanto, essa equação tem duas soluções.
O é apenas uma maneira eficiente de representar esse conceito matematicamente. Por exemplo, significa " ou ".
Observação sobre operações inversas
Quando resolvemos equações lineares, isolamos a variável usando operações inversas: Se a variável era somada a , subtraíamos de ambos os lados. Se a variável era multiplicada por , dividíamos ambos os lados por .
A operação inversa de elevar ao quadrado é tirar a raiz quadrada. Entretanto, diferente das outras operações, quando tiramos a raiz quadrada, devemos lembrar de tirar a raiz quadrada positiva e a negativa.
Agora, resolva algumas equações semelhantes por conta própria.
Como resolver e equações semelhantes
A seguir, mostramos como resolver a equação :
Portanto, as soluções são e .
Vamos revisar o que aconteceu nessa solução.
Isolando o
Usando a operação inversa do cálculo da raiz quadrada, removemos o sinal de quadrado. Isso foi importante para isolar o , mas ainda precisávamos somar na última etapa para realmente isolar o .
Entendendo as soluções
Nosso cálculo terminou com . Como devemos interpretar essa expressão? Lembre-se de que significa " ou ." Portanto, devemos dividir nossa resposta de acordo com os dois casos: ou .
Isso nos dá as duas soluções, e .
Agora, resolva algumas equações semelhantes por conta própria.
Porque não devemos eliminar os parênteses
Vamos voltar à equação do exemplo, . Imagine que queremos eliminar os parênteses nessa equação. Afinal, é o que fazemos em equações lineares, certo?
Ao eliminar os parênteses, obtemos a seguinte equação:
Se quiséssemos extrair a raiz quadrada desta equação, precisaríamos calcular a raiz quadrada da expressão , mas não está claro se pode ser reescrita como uma boa expressão.
Por outro lado, ao tirar a raiz quadrada de expressões como ou , obtemos expressões legais como ou .
Portanto, na verdade, é mais prático manter tudo fatorado em equações do segundo grau, pois isso nos permite tirar a raiz quadrada.
Como resolver e equações semelhantes
Nem todas as equações do segundo grau são resolvidas tirando a raiz quadrada imediatamente. Às vezes, precisamos isolar o termo elevado ao quadrado antes de tirar sua raiz quadrada.
Por exemplo, para resolver a equação , devemos primeiro isolar . Fazemos isso exatamente da mesma maneira que isolamos o termo em uma equação linear.
Agora, resolva algumas equações semelhantes por conta própria.
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