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Álgebra intermediária (parte 1)

Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 14

Lição 3: Resolução por meio do cálculo da raiz quadrada
Matemática
Álgebra intermediária (parte 1)
Equações e funções do segundo grau
Resolução por meio do cálculo da raiz quadrada
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Resolução de equações do segundo grau obtendo-se a raiz quadrada

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Aprenda a resolver equações do segundo grau como x^2=36 ou (x-2)^2=49.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

O que você vai aprender nessa lição

Até agora, você resolveu equações lineares, que incluem termos constantes — números simples — e termos com a variável elevada à primeira potência x, start superscript, 1, end superscript, equals, x.
Agora, você vai aprender a resolver equações de segundo grau, que incluem termos em que a variável é elevada à segunda potência, x, squared.
Aqui estão alguns exemplos dos tipos de equações do segundo grau que você vai aprender a resolver:
x, squared, equals, 36
left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49
2, x, squared, plus, 3, equals, 131
Agora, mãos à obra.

Como resolver x, squared, equals, 36 e equações semelhantes

Suponha que queiramos resolver a equação x, squared, equals, 36. Vamos primeiro verbalizar o que a equação está nos pedindo para calcular. Ela nos pergunta qual número, quando multiplicado por ele mesmo, é igual a 36?
Se esta pergunta soa familiar, é porque essa é a definição da raiz quadrada de 36, que é expressa matematicamente como square root of, 36, end square root.
Agora, veja como é a solução completa da equação:
x2=36x2=36Extraia a raiz quadrada.x=±36x=±6\begin{aligned}x^2&=36\\\\ \sqrt{x^2}&=\sqrt{36}&&\text{Extraia a raiz quadrada.}\\\\ x&=\pm\sqrt{36}\\\\ x&=\pm 6\end{aligned}
Vamos revisar o que aconteceu nessa solução.

O que significa o sinal plus minus

Note que todo número positivo tem duas raízes quadradas: uma raiz quadrada positiva e uma negativa. Por exemplo, tanto 6 quanto minus, 6, quando elevados ao quadrado, são iguais a 36. Portanto, essa equação tem duas soluções.
O plus minus é apenas uma maneira eficiente de representar esse conceito matematicamente. Por exemplo, plus minus, 6 significa "6 ou minus, 6".

Observação sobre operações inversas

Quando resolvemos equações lineares, isolamos a variável usando operações inversas: Se a variável era somada a 3, subtraíamos 3 de ambos os lados. Se a variável era multiplicada por 4, dividíamos ambos os lados por 4.
A operação inversa de elevar ao quadrado é tirar a raiz quadrada. Entretanto, diferente das outras operações, quando tiramos a raiz quadrada, devemos lembrar de tirar a raiz quadrada positiva e a negativa.
Agora, resolva algumas equações semelhantes por conta própria.
Problema 1
Resolva x, squared, equals, 16.
x, equals, plus minus
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 2
Resolva x, squared, equals, 81.
x, equals, plus minus
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 3
Resolva x, squared, equals, 5.
Escolha 1 resposta:

Como resolver left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49 e equações semelhantes

A seguir, mostramos como resolver a equação left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49:
(x−2)2=49(x−2)2=49Extraia a raiz quadrada.x−2=±7x=±7+2Some 2.\begin{aligned}(x-2)^2&=49\\\\ \sqrt{(x-2)^2}&=\sqrt{49}&&\text{Extraia a raiz quadrada.}\\\\ x-2&=\pm 7\\\\ x&=\pm 7+2&&\text{Some 2.}\end{aligned}
Portanto, as soluções são x, equals, 9 e x, equals, minus, 5.
Vamos revisar o que aconteceu nessa solução.

Isolando o x

Usando a operação inversa do cálculo da raiz quadrada, removemos o sinal de quadrado. Isso foi importante para isolar o x, mas ainda precisávamos somar 2 na última etapa para realmente isolar o x.

Entendendo as soluções

Nosso cálculo terminou com x, equals, plus minus, 7, plus, 2. Como devemos interpretar essa expressão? Lembre-se de que plus minus, 7 significa "plus, 7 ou minus, 7." Portanto, devemos dividir nossa resposta de acordo com os dois casos: x, equals, 7, plus, 2 ou x, equals, minus, 7, plus, 2.
Isso nos dá as duas soluções, x, equals, 9 e x, equals, minus, 5.
Agora, resolva algumas equações semelhantes por conta própria.
Problema 4
Resolva left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared, equals, 25.
Escolha 1 resposta:

Problema 5
Resolva left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, squared, equals, 9.
Escolha 1 resposta:

Problema 6
Resolva left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis, squared, equals, 7.
Escolha 1 resposta:

Porque não devemos eliminar os parênteses

Vamos voltar à equação do exemplo, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49. Imagine que queremos eliminar os parênteses nessa equação. Afinal, é o que fazemos em equações lineares, certo?
Ao eliminar os parênteses, obtemos a seguinte equação:
x, squared, minus, 4, x, plus, 4, equals, 49
Se quiséssemos extrair a raiz quadrada desta equação, precisaríamos calcular a raiz quadrada da expressão x, squared, minus, 4, x, plus, 4, mas não está claro se square root of, x, squared, minus, 4, x, plus, 4, end square root pode ser reescrita como uma boa expressão.
Por outro lado, ao tirar a raiz quadrada de expressões como x, squared ou left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, obtemos expressões legais como x ou left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis.
Portanto, na verdade, é mais prático manter tudo fatorado em equações do segundo grau, pois isso nos permite tirar a raiz quadrada.

Como resolver 2, x, squared, plus, 3, equals, 131 e equações semelhantes

Nem todas as equações do segundo grau são resolvidas tirando a raiz quadrada imediatamente. Às vezes, precisamos isolar o termo elevado ao quadrado antes de tirar sua raiz quadrada.
Por exemplo, para resolver a equação 2, x, squared, plus, 3, equals, 131, devemos primeiro isolar x, squared. Fazemos isso exatamente da mesma maneira que isolamos o termo x em uma equação linear.
2x2+3=1312x2=128Subtraia 3.x2=64Divida por 2.x2=64Extraia a raiz quadrada.x=±8\begin{aligned}2x^2+3&=131\\\\ 2x^2&=128&&\text{Subtraia 3.}\\\\ x^2&=64&&\text{Divida por 2.}\\\\ \sqrt{x^2}&=\sqrt{64}&&\text{Extraia a raiz quadrada.}\\\\ x&=\pm 8\end{aligned}
Agora, resolva algumas equações semelhantes por conta própria.
Problema 7
Resolva 3, x, squared, minus, 7, equals, 5.
Escolha 1 resposta:

Problema 8
Resolva 4, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, plus, 2, equals, 38.
Escolha 1 resposta:

Desafio
Resolva x, squared, plus, 8, x, plus, 16, equals, 9.
Escolha 1 resposta:

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