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Álgebra intermediária (parte 1)

Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 14

Lição 3: Resolução por meio do cálculo da raiz quadrada
Matemática
Álgebra intermediária (parte 1)
Equações e funções do segundo grau
Resolução por meio do cálculo da raiz quadrada
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Resolução de equações do segundo grau obtendo-se a raiz quadrada

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Aprenda a resolver equações do segundo grau como x^2=36 ou (x-2)^2=49.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

O que você vai aprender nessa lição

Até agora, você resolveu equações lineares, que incluem termos constantes — números simples — e termos com a variável elevada à primeira potência x1=x.
Agora, você vai aprender a resolver equações de segundo grau, que incluem termos em que a variável é elevada à segunda potência, x2.
Aqui estão alguns exemplos dos tipos de equações do segundo grau que você vai aprender a resolver:
x2=36
(x−2)2=49
2x2+3=131
Agora, mãos à obra.

Como resolver x2=36 e equações semelhantes

Suponha que queiramos resolver a equação x2=36. Vamos primeiro verbalizar o que a equação está nos pedindo para calcular. Ela nos pergunta qual número, quando multiplicado por ele mesmo, é igual a 36?
Se esta pergunta soa familiar, é porque essa é a definição da raiz quadrada de 36, que é expressa matematicamente como 36.
Agora, veja como é a solução completa da equação:
x2=36x2=36Extraia a raiz quadrada.x=±36x=±6
Vamos revisar o que aconteceu nessa solução.

O que significa o sinal ±

Note que todo número positivo tem duas raízes quadradas: uma raiz quadrada positiva e uma negativa. Por exemplo, tanto 6 quanto −6, quando elevados ao quadrado, são iguais a 36. Portanto, essa equação tem duas soluções.
O ± é apenas uma maneira eficiente de representar esse conceito matematicamente. Por exemplo, ±6 significa "6 ou −6".

Observação sobre operações inversas

Quando resolvemos equações lineares, isolamos a variável usando operações inversas: Se a variável era somada a 3, subtraíamos 3 de ambos os lados. Se a variável era multiplicada por 4, dividíamos ambos os lados por 4.
A operação inversa de elevar ao quadrado é tirar a raiz quadrada. Entretanto, diferente das outras operações, quando tiramos a raiz quadrada, devemos lembrar de tirar a raiz quadrada positiva e a negativa.
Agora, resolva algumas equações semelhantes por conta própria.
Problema 1
Resolva x2=16.
x=±
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Problema 2
Resolva x2=81.
x=±
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Problema 3
Resolva x2=5.
Escolha 1 resposta:

Como resolver (x−2)2=49 e equações semelhantes

A seguir, mostramos como resolver a equação (x−2)2=49:
(x−2)2=49(x−2)2=49Extraia a raiz quadrada.x−2=±7x=±7+2Some 2.
Portanto, as soluções são x=9 e x=−5.
Vamos revisar o que aconteceu nessa solução.

Isolando o x

Usando a operação inversa do cálculo da raiz quadrada, removemos o sinal de quadrado. Isso foi importante para isolar o x, mas ainda precisávamos somar 2 na última etapa para realmente isolar o x.

Entendendo as soluções

Nosso cálculo terminou com x=±7+2. Como devemos interpretar essa expressão? Lembre-se de que ±7 significa "+7 ou −7." Portanto, devemos dividir nossa resposta de acordo com os dois casos: x=7+2 ou x=−7+2.
Isso nos dá as duas soluções, x=9 e x=−5.
Agora, resolva algumas equações semelhantes por conta própria.
Problema 4
Resolva (x+3)2=25.
Escolha 1 resposta:

Problema 5
Resolva (2x−1)2=9.
Escolha 1 resposta:

Problema 6
Resolva (x−5)2=7.
Escolha 1 resposta:

Porque não devemos eliminar os parênteses

Vamos voltar à equação do exemplo, (x−2)2=49. Imagine que queremos eliminar os parênteses nessa equação. Afinal, é o que fazemos em equações lineares, certo?
Ao eliminar os parênteses, obtemos a seguinte equação:
x2−4x+4=49
Se quiséssemos extrair a raiz quadrada desta equação, precisaríamos calcular a raiz quadrada da expressão x2−4x+4, mas não está claro se x2−4x+4 pode ser reescrita como uma boa expressão.
Por outro lado, ao tirar a raiz quadrada de expressões como x2 ou (x−2)2, obtemos expressões legais como x ou (x−2).
Portanto, na verdade, é mais prático manter tudo fatorado em equações do segundo grau, pois isso nos permite tirar a raiz quadrada.

Como resolver 2x2+3=131 e equações semelhantes

Nem todas as equações do segundo grau são resolvidas tirando a raiz quadrada imediatamente. Às vezes, precisamos isolar o termo elevado ao quadrado antes de tirar sua raiz quadrada.
Por exemplo, para resolver a equação 2x2+3=131, devemos primeiro isolar x2. Fazemos isso exatamente da mesma maneira que isolamos o termo x em uma equação linear.
2x2+3=1312x2=128Subtraia 3.x2=64Divida por 2.x2=64Extraia a raiz quadrada.x=±8
Agora, resolva algumas equações semelhantes por conta própria.
Problema 7
Resolva 3x2−7=5.
Escolha 1 resposta:

Problema 8
Resolva 4(x−1)2+2=38.
Escolha 1 resposta:

Desafio
Resolva x2+8x+16=9.
Escolha 1 resposta:

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