Esta com algum problema na hora de inserir a resposta 2) Fatore x^2-100x 2 −100x, start superscript, 2, end superscript, minus, 100. A resposta que coloco esta correta, porque da erro? As demais também.

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Álgebra intermediária (parte 1)

Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 13

Lição 7: Fatoração de expressões do segundo grau com diferença de dois quadrados

Fatoração de expressões do segundo grau: diferença de dois quadrados

Aprenda a fatorar expressões do segundo grau na forma de "diferença de dois quadrados". Por exemplo, escreva x²-16 como (x+4)(x-4).

Fatorar um polinômio envolve escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinômios. Isto reverte o processo de multiplicação polinomial.

Neste artigo, vamos aprender a usar o padrão da diferença de quadrados para fatorar alguns polinômios. Se você não conhece o padrão da diferença de quadrados, confira nosso vídeo antes de continuar.

Introdução: padrão da diferença de dois quadrados

Todo polinômio que é uma diferença de dois quadrados pode ser fatorado aplicando-se a fórmula a seguir:

start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis

Observe que, no padrão, a e b podem ser qualquer expressão algébrica. Por exemplo, para a, equals, x e b, equals, 2, obteremos o seguinte:

\begin{aligned}\blueD{x}^2-\greenD{2}^2=(\blueD x+\greenD 2)(\blueD x-\greenD 2)\end{aligned}

O polinômio x, squared, minus, 4 está, agora, expresso em sua forma fatorada, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis. Podemos expandir o lado direito dessa equação para justificar a fatoração:

\begin{aligned}(x+2)(x-2)&=x(x-2)+2(x-2)\\\\&=x^2-2x+2x-4\\ \\ &=x^2-4\end{aligned}

Agora que entendemos o padrão, vamos usá-lo para fatorar mais alguns polinômios.

Exemplo 1: fatoração de x, squared, minus, 16

Tanto x, squared como 16 são quadrados perfeitos, já que x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared e 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Em outras palavras:

x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared

Como os dois quadrados estão sendo subtraídos, podemos ver que esse polinômio representa uma diferença de dois quadrados. Podemos usar o padrão da diferença de dois quadrados para fatorar essa expressão:

No nosso caso, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd e start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Portanto, nosso polinômio é fatorado da maneira a seguir:

left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, minus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis

Podemos conferir nosso trabalho verificando se o produto desses dois fatores é x, squared, minus, 16.

[Gostaria de ver isso!]

Teste seu conhecimento

1) Fatore x, squared, minus, 25.

(Escolha A)
left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis
(Escolha B)
left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis
(Escolha C)
left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis

[Preciso de ajuda!]

2) Fatore x, squared, minus, 100.

[Preciso de ajuda!]

Pergunta para reflexão

3) Podemos usar o padrão da diferença de dois quadrados para fatorar x, squared, plus, 25?

[Preciso de ajuda!]

Exemplo 2: fatoração de 4, x, squared, minus, 9

O coeficiente principal não precisa ser igual a 1 para usarmos o padrão da diferença de dois quadrados. Na verdade, o padrão da diferença de dois quadrados pode ser usado aqui!

Isso porque 4, x, squared e 9 são quadrados perfeitos, já que 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared e 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Podemos usar essa informação para fatorar o polinômio usando o padrão da diferença de dois quadrados:

\begin{aligned}4x^2-9 &=(\blueD {2x})^2-(\greenD{3})^2\\ \\ &=(\blueD {2x}+\greenD 3)(\blueD {2x}-\greenD 3) \end{aligned}

Uma rápida multiplicação verifica nossa resposta.

[Gostaria de ver isso!]

Teste seu conhecimento

4) Fatore 25, x, squared, minus, 4.

(Escolha A)
left parenthesis, 25, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis
(Escolha B)
left parenthesis, 25, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis
(Escolha C)
left parenthesis, 5, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, 5, x, minus, 2, right parenthesis
(Escolha D)
left parenthesis, 25, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, 25, x, minus, 4, right parenthesis