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Fatoração de expressões do segundo grau: diferença de dois quadrados

Aprenda a fatorar expressões do segundo grau na forma de "diferença de dois quadrados". Por exemplo, escreva x²-16 como (x+4)(x-4).
Fatorar um polinômio envolve escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinômios. Isto reverte o processo de multiplicação polinomial.
Neste artigo, vamos aprender a usar o padrão da diferença de quadrados para fatorar alguns polinômios. Se você não conhece o padrão da diferença de quadrados, confira nosso vídeo antes de continuar.

Introdução: padrão da diferença de dois quadrados

Todo polinômio que é uma diferença de dois quadrados pode ser fatorado aplicando-se a fórmula a seguir:
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis
Observe que, no padrão, a e b podem ser qualquer expressão algébrica. Por exemplo, para a, equals, x e b, equals, 2, obteremos o seguinte:
x222=(x+2)(x2)\begin{aligned}\blueD{x}^2-\greenD{2}^2=(\blueD x+\greenD 2)(\blueD x-\greenD 2)\end{aligned}
O polinômio x, squared, minus, 4 está, agora, expresso em sua forma fatorada, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis. Podemos expandir o lado direito dessa equação para justificar a fatoração:
(x+2)(x2)=x(x2)+2(x2)=x22x+2x4=x24\begin{aligned}(x+2)(x-2)&=x(x-2)+2(x-2)\\\\&=x^2-2x+2x-4\\ \\ &=x^2-4\end{aligned}
Agora que entendemos o padrão, vamos usá-lo para fatorar mais alguns polinômios.

Exemplo 1: fatoração de x, squared, minus, 16

Tanto x, squared como 16 são quadrados perfeitos, já que x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared e 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Em outras palavras:
x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Como os dois quadrados estão sendo subtraídos, podemos ver que esse polinômio representa uma diferença de dois quadrados. Podemos usar o padrão da diferença de dois quadrados para fatorar essa expressão:
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis
No nosso caso, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd e start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Portanto, nosso polinômio é fatorado da maneira a seguir:
left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, minus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis
Podemos conferir nosso trabalho verificando se o produto desses dois fatores é x, squared, minus, 16.

Teste seu conhecimento

1) Fatore x, squared, minus, 25.
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

2) Fatore x, squared, minus, 100.

Pergunta para reflexão

3) Podemos usar o padrão da diferença de dois quadrados para fatorar x, squared, plus, 25?
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

Exemplo 2: fatoração de 4, x, squared, minus, 9

O coeficiente principal não precisa ser igual a 1 para usarmos o padrão da diferença de dois quadrados. Na verdade, o padrão da diferença de dois quadrados pode ser usado aqui!
Isso porque 4, x, squared e 9 são quadrados perfeitos, já que 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared e 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Podemos usar essa informação para fatorar o polinômio usando o padrão da diferença de dois quadrados:
4x29=(2x)2(3)2=(2x+3)(2x3)\begin{aligned}4x^2-9 &=(\blueD {2x})^2-(\greenD{3})^2\\ \\ &=(\blueD {2x}+\greenD 3)(\blueD {2x}-\greenD 3) \end{aligned}
Uma rápida multiplicação verifica nossa resposta.

Teste seu conhecimento

4) Fatore 25, x, squared, minus, 4.
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

5) Fatore 64, x, squared, minus, 81.

6) Fatore 36, x, squared, minus, 1.

Desafios

7*) Fatore x, start superscript, 4, end superscript, minus, 9.

8*) Fatore 4, x, squared, minus, 49, y, squared.

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