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Álgebra intermediária (parte 1)
Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 13
Lição 8: Fatoração de expressões do segundo grau com quadrados perfeitos- Introdução à fatoração de quadrados perfeitos
- Fatoração de expressões de segundo grau: quadrados perfeitos
- Introdução aos quadrados perfeitos
- Fatoração de trinômios do quadrado perfeito
- Como identificar a forma do trinômio do quadrado perfeito
- Fatoração de trinômios do quadrado perfeito: fator comum negativo
- Fatoração de trinômios do quadrado perfeito: valores desconhecidos
- Fatoração de trinômios do quadrado perfeito: fatores compartilhados
- Quadrados perfeitos
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Fatoração de expressões de segundo grau: quadrados perfeitos
Aprenda a fatorar expressões do segundo grau na forma de "trinômio do quadrado perfeito". Por exemplo, escreva x²+6x+9 como (x+3)².
A fatoração de um polinômio implica em escrevê-lo como produto de dois ou mais polinômios. É o contrário do processo de multiplicação polinomial.
Neste artigo, vamos aprender a fatorar trinômios quadrados perfeitos usando padrões especiais. Isso inverte o processo de elevar um binômio ao quadrado, então é preciso entender bem o assunto antes de continuar.
Introdução: fatoração de trinômios quadrados perfeitos
Para expandir qualquer binômio, podemos aplicar um dos seguintes modelos.
- left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
- left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
Note que nos modelos, a e b podem ser quaisquer expressões algébricas. Por exemplo, suponha que queiramos expandir left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared. Neste caso, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd e start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, e portanto chegamos em:
Você pode verificar este modelo usando a multiplicação para expandir left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared.
O inverso deste processo de expansão é uma forma de fatoração. Se reescrevermos as equações na ordem inversa, nós teremos modelos para a fatoração de polinômios da forma a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared.
- start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
- start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Podemos aplicar o primeiro modelo para fatorar x, squared, plus, 10, x, plus, 25. Aqui temos start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd e start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54.
Expressões desta forma são chamadas trinômios quadrados perfeitos. O nome remete ao fato de que este tipo de polinômio de três termos pode ser expresso como um quadrado perfeito!
Vamos dar uma olhada em alguns exemplos nos quais fatoramos trinômios quadrados perfeitos usando este modelo.
Exemplo 1: fatoração de x, squared, plus, 8, x, plus, 16
Note que o primeiro e o último termo são quadrados perfeitos: x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared e 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Além do mais, note que o termo do meio é duas vezes o produto dos números que estão elevados ao quadrado: 2, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 8, x.
Isto nos diz que o polinômio é um trinômio quadrado perfeito, e então podemos usar o seguinte modelo de fatoração.
Em nosso caso, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd e start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Podemos fatorar o polinômio assim:
Podemos verificar nossa fatoração expandindo left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared:
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Exemplo 2: fatoração de 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9
Não é necessário que o coeficiente principal de um trinômio quadrado perfeito seja 1.
Por exemplo, em 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9, observe que o primeiro e o último termo são quadrados perfeitos: 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared e 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Além do mais, note que o termo do meio é duas vezes o produto dos números que estão elevados ao quadrado: 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 12, x.
Como as condições acima são satisfeitas, 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 também é um trinômio quadrado perfeito. Podemos aplicar o seguinte modelo de fatoração novamente.
Neste caso, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, x, end color #11accd e start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54. O polinômio fatorado fica assim:
Podemos verificar nossa fatoração expandindo left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared.
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- Na resolução da questão 7 -> 9x²+24x+16y², onde estaria a incógnita "y", no termo "24xy" do enunciado?(6 votos)
- o termo 9x² você percebe que é (3x)².
o termo 16y² você percebe que é (4y)² então o do meio seria 2 . 3x . 4y? bom, isso dá 24 xy, e ok, é isso mesmo!(10 votos)
- to mais perdido que neymar na copa(3 votos)