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Álgebra intermediária (parte 1)

Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 13

Lição 8: Fatoração de expressões do segundo grau com quadrados perfeitos
Matemática
Álgebra intermediária (parte 1)
Expressões do segundo grau: multiplicação e fatoração
Fatoração de expressões do segundo grau com quadrados perfeitos
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Fatoração de expressões de segundo grau: quadrados perfeitos

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Aprenda a fatorar expressões do segundo grau na forma de "trinômio do quadrado perfeito". Por exemplo, escreva x²+6x+9 como (x+3)².
A fatoração de um polinômio implica em escrevê-lo como produto de dois ou mais polinômios. É o contrário do processo de multiplicação polinomial.
Neste artigo, vamos aprender a fatorar trinômios quadrados perfeitos usando padrões especiais. Isso inverte o processo de elevar um binômio ao quadrado, então é preciso entender bem o assunto antes de continuar.

Introdução: fatoração de trinômios quadrados perfeitos

Para expandir qualquer binômio, podemos aplicar um dos seguintes modelos.
  • left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
  • left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
Note que nos modelos, a e b podem ser quaisquer expressões algébricas. Por exemplo, suponha que queiramos expandir left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared. Neste caso, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd e start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, e portanto chegamos em:
(x+5)2=x2+2(x)(5)+(5)2=x2+10x+25\begin{aligned}(\blueD x+\greenD 5)^2&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=x^2+10x+25\end{aligned}
Você pode verificar este modelo usando a multiplicação para expandir left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared.
O inverso deste processo de expansão é uma forma de fatoração. Se reescrevermos as equações na ordem inversa, nós teremos modelos para a fatoração de polinômios da forma a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared.
  • start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
  • start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Podemos aplicar o primeiro modelo para fatorar x, squared, plus, 10, x, plus, 25. Aqui temos start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd e start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54.
x2+10x+25=x2+2(x)(5)+(5)2=(x+5)2\begin{aligned}x^2+10x+25&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=(\blueD x+\greenD 5)^2\end{aligned}
Expressões desta forma são chamadas trinômios quadrados perfeitos. O nome remete ao fato de que este tipo de polinômio de três termos pode ser expresso como um quadrado perfeito!
Vamos dar uma olhada em alguns exemplos nos quais fatoramos trinômios quadrados perfeitos usando este modelo.

Exemplo 1: fatoração de x, squared, plus, 8, x, plus, 16

Note que o primeiro e o último termo são quadrados perfeitos: x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared e 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Além do mais, note que o termo do meio é duas vezes o produto dos números que estão elevados ao quadrado: 2, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 8, x.
Isto nos diz que o polinômio é um trinômio quadrado perfeito, e então podemos usar o seguinte modelo de fatoração.
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Em nosso caso, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd e start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Podemos fatorar o polinômio assim:
x2+8x+16=(x)2+2(x)(4)+(4)2=(x+4)2\begin{aligned}x^2+8x+16&=(\blueD x)^2+2(\blueD x)(\greenD 4)+(\greenD4)^2\\ \\ &=(\blueD{x}+\greenD{4})^2\end{aligned}
Podemos verificar nossa fatoração expandindo left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared:
(x+4)2=(x)2+2(x)(4)+(4)2=x2+8x+16\begin{aligned}(x+4)^2&=(x)^2+2(x)(4)+(4)^2\\ \\ &=x^2+8x+16 \end{aligned}

Teste seu conhecimento

1) Fatore x, squared, plus, 6, x, plus, 9.
Escolha 1 resposta:

2) Fatore x, squared, minus, 6, x, plus, 9.
Escolha 1 resposta:

3) Fatore x, squared, plus, 14, x, plus, 49.

Exemplo 2: fatoração de 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9

Não é necessário que o coeficiente principal de um trinômio quadrado perfeito seja 1.
Por exemplo, em 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9, observe que o primeiro e o último termo são quadrados perfeitos: 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared e 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Além do mais, note que o termo do meio é duas vezes o produto dos números que estão elevados ao quadrado: 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 12, x.
Como as condições acima são satisfeitas, 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 também é um trinômio quadrado perfeito. Podemos aplicar o seguinte modelo de fatoração novamente.
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Neste caso, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, x, end color #11accd e start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54. O polinômio fatorado fica assim:
4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}4x^2+12x+9&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD {2x})(\greenD 3)+(\greenD3)^2\\ \\ &=(\blueD{2x}+\greenD{3})^2\end{aligned}
Podemos verificar nossa fatoração expandindo left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared.

Teste seu conhecimento

4) Fatore 9, x, squared, plus, 30, x, plus, 25.
Escolha 1 resposta:

5) Fatore 4, x, squared, minus, 20, x, plus, 25.

Desafios

6*) Fatore x, start superscript, 4, end superscript, plus, 2, x, squared, plus, 1.

7*) Fatore 9, x, squared, plus, 24, x, y, plus, 16, y, squared.

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